Cambio de coordenadas del lagrangiano

Question

Considere el sistema anterior ( $m_1$ , $m_2$ y $m_3$ están conectados por resortes de rigidez $k_1$ y $k_2$ respectivamente. También, $m_1 \neq m_2 \neq m_3$ ). El lagrangiano es

$$L(x_{1},x_{2},x_{3},\dot x_{1},\dot x_{2},\dot x_{3},t) = \frac{1}{2}m_{1}(\dot x_{1})^2+\frac{1}{2}m_{2}(\dot x_{2})^2+\frac{1}{2}m_{3}(\dot x_{3})^2 - \frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^2-\frac{1}{2}k(x_{3}-x_{2})^2 $$

Sin embargo, me veo obligado a cambiar las variables, para evitar los términos cruzados. He resuelto el problema de las dos masas anteriormente, habiendo obtenido $q_{1}(x_{1},x_{2}) = x_{2}-x_{1}$ y $q_{2}(x_{1},x_{2}) = m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}$ que hizo el trabajo. Por lo tanto, traté de aplicar la misma lógica a este problema ( $q_{1}(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{2}-x_{1}$ , $q_{2} (x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{3}-x_{2}$ y $q_{3}(x_{1},x_{2},x_{3}) = m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}$ ), que no eliminó por completo los términos cruzados. Mi pregunta es, ¿hay algún tipo de significado lógico/físico en estos cambios de variables o se trata de un proceso del tipo "prueba y error"?

Answer 1

Debes hacer un cambio de variables al marco de referencia del centro de masa. El centro de masa, como debes saber, tiene coordenadas $$R=\frac{m_1r_1+m_2r_2+m_3r_3}{m_1+m_2+m_3} $$ . Entonces deberías definir una nueva posición para cada partícula desde el centro de masa. De esta manera deberías obtener un bonito lagrangiano sin términos cruzados.

Estudiar un sistema desde la perspectiva del centro de masa es útil cuando se trata de muchos cuerpos, no es una elección arbitraria.

Answer 2

Una forma cuadrática general en $x_1,\ldots,x_n$ puede escribirse como

$$L(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i\le j\le n}a_{ij}x_ix_j = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}x_ix_j$$

donde $A_{ij} = A_{ji}$ para que $A_{ij} = a_{ij} / 2$ si $i < j$ . Entonces $A_{ij}$ forma una matriz simétrica, por lo que se puede diagonalizar mediante una transformación ortogonal. Este cambio de base es un cambio lineal de variables en el que se eliminan los términos cruzados.

En su ejemplo, los términos que implican $\dot x_i$ ya están libres de términos cruzados, por lo que podemos prescindir de ellos. La parte restante, escrita, es

$$-\frac12k\left(x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 - 2x_2x_3 + x_3^2\right) = -\frac12k\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}$$

donde

$$A = \begin{pmatrix}\phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}0 \\ -1 & \phantom{-}2 & -1 \\ \phantom{-}0 & -1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$$

Los vectores propios ortogonales normalizados son

$$\frac1{\sqrt3}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix},\frac1{\sqrt6}\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}$$

con valores propios $0$ , $1$ , $3$ Así pues, para

$$y_1 = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{\sqrt3}, y_2 = \frac{x_1 - x_3}{\sqrt2}, y_3 = \frac{x_1 - 2x_2 + x_3}{\sqrt6},$$

obtenemos

$$x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 - 2x_2x_3 + x_3^2 = y_2^2 + 3y_3^2 = \frac12(x_1 - x_3)^2 + \frac12(x_1 - 2x_2 + x_3)^2.$$