Una forma dual a los campos vectoriales

Question

Dejemos que $E_1$ y $E_2$ sean campos vectoriales en $U = \mathbb{R}^2\setminus (0,0)$ y que $\epsilon_1, \epsilon_2$ sean las formas duales de $E_1$ y $E_2$ respectivamente. Supongamos que tenemos $$E_1(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial}{\partial x} + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial}{\partial y}$$ y $$E_2(x,y) = \frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial}{\partial x} + \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial}{\partial y}$$

$\textbf{Question:}$ ¿Cómo calculamos $\epsilon_1$ y $\epsilon_2$ ?

Answer 1

Sólo tienes un sistema de ecuaciones que resolver. Establece $\epsilon_1 = a\,dx + b\,dy$ y $\epsilon_2 = c\,dx + e\,dy$ . Escribir $\epsilon_i(E_j) = \delta_{ij}$ te da un sistema de ecuaciones lineales para $a,b,c,e$ . (Hay formas más elegantes de hacer esto con matrices de cambio de base, pero no me molestaré).

Deberías conseguir \begin{align*} ax + by &= \sqrt{x^2+y^2} \\ cx + ey &= 0 \\ -ay + bx &= 0 \\ -cy + ex &= \sqrt{x^2+y^2}. \end{align*} Te dejo para que lo resuelvas.

COMENTARIO : Suelo llegar a esto de la otra manera. Si empiezo con coordenadas polares $(r,\theta)$ entonces $dr = \frac xr\,dx + \frac yr\,dy$ y $r\,d\theta = -\frac yr\,dx + \frac xr\,dy$ . ¿Puedes obtener los campos vectoriales duales a partir de esto?