Función de diseño que se maximiza en un valor finito

Question

Dadas dos funciones $f_1(m) = a^m$ y $f_2(m) = b^m$ Cómo diseñar otra función $f(m)=g(f_1(m), f_2(m))$ tal que $f(m)$ se maximiza en algún valor finito $m=m_o$ (con $m_o$ no es igual a $0$ o $\infty$ ). O demostrar que no existe tal función $g(\cdot,\cdot)$ .

Por ejemplo, $g(x,y) = \frac{x}{y}$ no cumple el requisito, ya que si $a\le{}b$ , $m_o=0$ . Si $a\ge{}b$ , $m_o=\infty$ .

Answer 1

Sólo toma $g(x,y)$ para ser una función de dos variables que alcanza un máximo en $(x,y) = (f_1(m_0), f_2(m_0))$ . Por ejemplo, $g(x,y) = - (x - f_1(m_0))^2 - (y - f_2(m_0))^2$ funcionará.

Answer 2

Hay muchos ejemplos. Una idea es observar que el máximo de $$H_1(m)=\frac{1}{\frac{a^m}{a}+\frac{a}{a^m}}=\frac{a\cdot a^{m}}{a^2+(a^{m})^2}$$ se alcanza en $m=1$ . Así que si dejamos que $$f(x,y)=\frac{ax}{a^2+x^2}+\frac{by}{b^2+y^2}$$ entonces $f(a^m, b^m)$ alcanzará su máximo en $m=1$ .