Ayuda a encontrar todos los valores propios del operador $T:L^2([0,1]) \rightarrow L^2([0,1])$

Question

Definir $K: [0,1] \times [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ por

$$K(x,y) =\begin{cases} (1-x)y &\text{if } 0 \le t \le x\\ (1-y)x& \text{if }x \le y \le 1\end{cases}$$

Además, considere el operador $T: L^2([0,1]) \rightarrow L^2([0,1])$ definido por $$Tf(x) = \int_0^1 K(x,y)f(y) \, dy$$

Cómo demostrar que si $Tf = \lambda f$ para algunos $\lambda \neq 0$ entonces $f \in C^\infty([0,1])$ , $f(0)=f(1)=0$ y $\lambda f'' = f$ ? Además, ¿cuáles son los valores propios de $T$ ?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Le sugiero que escriba explícitamente lo que $Tf(x)$ es, y supongamos que $\lambda f = Tf$ . Dado que las funciones como $x\mapsto \int_a^x g(y)\,dy$ son continuas cuando $g$ es integrable, el lado derecho de la ecuación $\lambda f = Tf$ representa una función continua. Dado que $\lambda\neq 0$ Esto significa que $f$ es continua.

A continuación puedes aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo, que dice que si $g$ es continua, entonces la derivada de $x\mapsto \int_a^x g(y)dy$ es $g(x)$ . Esto permite calcular las derivadas de $Tf$ . Diferenciando la ecuación $\lambda f=Tf$ dos veces da como resultado $\lambda f'' = -f$ . En particular, esto hace que sea sencillo ver que $f$ está en $C^\infty$ .

También permite resolver una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden para encontrar todas las posibilidades de $f$ , a saber $f(x)=A\sin(x/\sqrt\lambda)+B\cos(x/\sqrt \lambda)$ para las constantes $A$ y $B$ . Utilizando los valores límite de $f$ le permite reducir las posibilidades y encontrar todos los candidatos a $\lambda$ .