¿Dónde está el error al encontrar la solución particular de esta relación de recurrencia?

Question

La cuestión es escribir la solución general para esta relación de recurrencia:

$y_{k+2} - 4y_{k+1} + 3y_{k} = -4k$ .

Primero resolví la ecuación homogénea $y_{k+2} - 4y_{k+1} + 3y_{k} = 0$ escribiendo la ecuación auxiliar $r^2 - 4r + 3 = (r-3)(r-1) = 0$ . Así, $y_k^{h} = c_1(1)^k + c_2 (3)^k$ . La solución general es simplemente $y_k^{gen} = y_k^{h} + y_k^{p}$ . Mi problema es dar con una solución concreta. Siempre se me ocurre $y_k^{p} = 2k^2$ cuando eso no funciona, pero $k^2$ funciona, así que mi respuesta está cerca. He repasado la aritmética varias veces y no puedo detectar el error, aquí está el trabajo:

La solución particular es de la forma $y_k^{p} = a + bk$ . Introducción de la relación de recurrencia: $a + b(k+2) - 4(a + b(k+1) + 3(a + bk) = (a - 4a + 3a) + (bk - 4bk + 3bk) + (2b - 4b) = 0 + 0 - 2b = -4k$ .

Así, $b = 2k$ y como nuestro $y_k^p = a + bk$ No importa lo que elija $a$ para ser tan elegido $a = 0$ , lo que nos da $y_k^p = 2k^2$ .

Sin embargo, $2k^2$ no satisface la relación de recurrencia: $2(k+2)^2 - 8(k+1)^2 + 6k^2 = (2k^2 - 8k^2 + 6k^2) + (8k - 16k) + (8 - 8) = -8k \ne -4k$ .

¿Dónde está el error en mi razonamiento? Sé que $y_k^p = k^2$ funciona, pero ¿por qué sigo saliendo con $2k^2$ .

Answer 1

Usted comenzó con la suposición de que existían dos constantes $a,b$ tal que $y_k = a+bk$ era una solución. Después de un poco de álgebra se llega a
$y_k$ es una solución $\iff \forall k, y_{k+2}-4y_{k+1}+3y_k = -4k \iff \forall k, b = 2k$ .
Así que $b$ tiene que ser igual a todos los enteros pares a la vez. Obviamente esto es imposible: se ha llegado a una contradicción y no hay solución de la forma $a+bk$ .

Si $z_k = y_{k+2}-4y_{k+1}+3y_k$ , entonces puede comprobar que $z_{k+1}-z_k$ es constante, y entonces que $z_{k+2}-2z_{k+1}+z_k = 0$ . Así, las soluciones de la ecuación original son un subconjunto de las soluciones de una relación lineal recurrente más grande y homogénea. Su polinomio característico es $(r-1)^3(r-3)$ por lo que las soluciones de esta ecuación homogénea acaban siendo $\{y_k = a+bk+ck^2+d3^k \mid (a,b,c,d) \in \Bbb R^4\}$ por lo que sólo hay que comprobar cuáles de ellas satisfacen la ecuación original, y obtener el valor de $b$ y $c$ .

Answer 2

Como observación adicional, es mejor utilizar funciones generadoras y resolver la ecuación de una sola vez. Definir $g(z) = \sum_{k \ge 0} y_k z^k$ multiplique la recurrencia por $z^k$ , suma sobre $k \ge 0$ y reconocer algunas sumas: \begin{align} \sum_{k \ge 0} y_{k + r} z^k &= \frac{g(z) - y_0 - y_1 z - \ldots - y_{r - 1} z^{r - 1}}{z^r} \\ \sum_{k \ge 0} k z^k &= z \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} \frac{1}{1 - z} \\ &= \frac{z}{(1 - z)^2} \end{align} y así lo consiguen: $$ \frac{g(z) - y_0 -y_1 z}{z^2} - 4 \frac{g(z) - y_0}{z} + 3 g(z) = - 4 \frac{z}{(1 - z)^2} $$ Escrito como fracciones parciales: $$ g(z) = \frac{1 - y_0 - y_1}{2 (1 - 3 z)} + \frac{3 + 3 y_0 - y_1}{2 (1 - z)} - \frac{3}{(1 - z)^2} + \frac{2}{(1 - z)^3} $$ Su solución particular proviene de los términos que no incluyen los valores iniciales. El teorema del binomio generalizado para potencias enteras negativas da para ellos: \begin{align} - 3 \binom{-2}{k} (-1)^k + 2 \binom{-3}{k} (-1)^k &= -3 \binom{k + 2 - 1}{2 - 1} + 2 \binom{k + 3 - 1}{3 - 1} \\ &= -3 (n + 1) + 2 \frac{(n + 2) (n + 1)}{2} \\ &= n^2 - 1 \end{align}

Answer 3

Su error es poner $b=2k$ cuando $b$ es una constante. Observa que una de las soluciones que tiene la ecuación homogénea es $1^k$ . Esto significa que tiene que aumentar el grado de su solución particular y tratar $a+bk+ck^2$ .

Porque $1$ es una raíz de la ecuación auxiliar, el término en $a$ simplemente irá a cero (pruébalo). El término en $b$ va a una constante (como ha calculado, de hecho) y ayudaría si tuviera un término constante en el lado derecho, y el término en $c$ será lo que necesita para el $k$ término. Funciona así (verás que todos los coeficientes principales se cancelan):

$$a+b(k+2)+c(k+2)^2-4a-4b(k+1)-4c(k+1)^2+3a+3bk+3ck^2 =$$$$ 2b+4ck+4c-4b-8ck-4c=-2b-4ck $$ From which you get $ b=0, c=1$