Fijar un campo algebraicamente cerrado, por ejemplo los números complejos.
Consideremos un polinomio univariante $p$ . Diremos que $p$ se puede "elevar al cuadrado" si existe una función racional univariante no constante $q$ tal que $p(q(x))$ es el cuadrado de alguna función racional univariante $r(x)$ .
Pregunta: ¿Qué polinomios se pueden elevar al cuadrado? Más concretamente, ¿existen polinomios en los coeficientes, cuyos conjuntos de soluciones caracterizan exactamente los polinomios que se pueden elevar al cuadrado?
A continuación, enumero lo que sé. Básicamente, creo que los grados 1 a 3 se entienden bien, posiblemente incluso el grado 4. Pero no tengo ni idea de lo que ocurre a partir del grado 5.
Todos los polinomios constantes se pueden elevar al cuadrado
Si $p(x)=a$ independientemente de $q$ , $p(q(x))=a=(\sqrt{a})^2$ .
Todos los polinomios de grado 1 se pueden elevar al cuadrado
Utilizaremos el hecho de que un cambio lineal de variables no afecta a la cuadrabilidad. Es decir, $p(x)$ es cuadriculable si y sólo si $p(ax+b)$ es cuadriculable.
Si $p$ es lineal, por un cambio de variables, podemos suponer $p(x)=x$ . Así que simplemente fijamos $q(x)=x^2$ y luego $p(q(x))=x^2$
Todos los polinomios de grado 2 se pueden elevar al cuadrado
Como se explica en otra pregunta ( Caracterizar los polinomios $p,q$ tal que $p(q(x))$ es un cuadrado perfecto ), para un polinomio $p$ que no sea ya un cuadrado perfecto, no hay polinomio $q$ que hace $p(q(x))$ un cuadrado perfecto. Sin embargo, existe una solución utilizando un racional $q$ .
Realizando un cambio lineal de variables, podemos asumir cualquier grado-2 $p$ es de la forma $p(x)=x^2+a$ (en este caso, hemos necesitado el hecho de que el campo sea cerrado para eliminar el coeficiente principal). Entonces se puede establecer $q(x)=(4x^2-a)/(4x)$ . Tenemos:
$$p(q(x)) = q(x)^2+a = \frac{16 x^4-8 a x^2+a^2}{16x^2}+a = \frac{16 x^4+8 a x^2+a^2}{16x^2} = \left(\frac{4x^2+a}{4x}\right)^2$$
No todos los polinomios de grado 3 se pueden elevar al cuadrado(?)
Consideremos un polinomio de grado 3 $p$ . Si su discriminante es 0, entonces tiene una raíz repetida. En este caso, $p$ se puede elevar al cuadrado. En efecto, si $p(x)=c(x-a)^2(x-b)$ podemos elegir $q(x)=x^2+b$ . Entonces $p(q(x))=c(q(x)-a)^2 x^2$ que es un cuadrado.
Creo que lo anterior es ajustado: es decir, si el discriminante es distinto de cero para un polinomio de grado 3, entonces $p$ no se puede cuadrar. La razón es que $y^2=p(x)$ es una curva elíptica, y elevando al cuadrado $p$ da una parametrización racional de al menos una parte de la curva. Si he entendido bien, una curva elíptica con discriminante distinto de cero no puede ser parametrizada. Hay potencialmente una pequeña laguna, ya que la cuadratura puede no dar una parametrización de toda la curva, sino sólo de una parte.
¿Grado 4?
Dejemos que $p(x)$ sea un polinomio de grado 4. Si el discriminante es 0, entonces $p$ se puede cuadrar. De hecho, si el discriminante es 0, entonces hay una raíz repetida, y podemos escribir $p(x)=(x-a)^2 p_0(x)$ para un polinomio de grado 2 $p_0$ . Aplicamos la construcción de grado 2 para obtener $q$ lo que eleva al cuadrado $p_0$ y esto $q$ también escarificará $p$ .
¿Esto está apretado? ¿Se pueden elevar al cuadrado todos los polinomios de grado 4, o sólo los que tienen un discriminante decreciente?
¿Grado 5 y más?
A partir del grado 5, la situación es aún menos clara. Tener un discriminante de 0 ya no parece suficiente para cuadrar. ¿Pero se puede demostrar que es necesario? Sospecho que alguna generalización del discriminante puede dar condiciones necesarias y suficientes, pero no estoy seguro de dónde buscar.
