Elementos positivos en las álgebras estrella

Question

Dejemos que $A$ ser un $C^\ast$ -Álgebra. ¿Es posible demostrar que si $a \ge 0$ entonces

$ab, ba \ge 0$ si y sólo si $b \ge 0$ ?

Answer 1

No, no es posible demostrar que esto sea así.

Contraejemplo (no nulo) en $\Bbb C^{2 \times 2}$ : $$ a = \pmatrix{1&0\\0&0}, \quad b = \pmatrix{1&0\\0&-1} $$

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Contraejemplo del comentario: $$ a = \pmatrix{1&0\\0&0}, \quad b = \pmatrix{1&1\\1&1} $$ nota que ni $ab$ ni $ba$ es autoadherente. Nótese que $ab$ será autoadjunto si $a$ y $b$ de viaje.

Answer 2

El contraejemplo más sencillo: $a=0$ .

Algo menos trivial: en $C([0,1])$ dejar $a$ sea una función que sea $0$ en $[0,1/2]$ y no negativo. Entonces $ab = ba \ge 0$ si $b \ge 0$ en $[1/2, 1]$ pero podrías tener $b(t) < 0$ en algún lugar de $[0,1/2)$ .