Dejemos que $f \in L^1(\mathbb{R})$ , demuestran que $$ \int_{-x}^{x} f(t) dt \to \int_{- \infty}^{\infty} f(t) dt$$ como $x \to \infty$ .
$\textbf{My Attempt:}$ Podemos reescribir, $$ \int_{-x}^{x} f(t) dt = \int_{\mathbb{R}} f(t) \chi_{(-x,x)} (t) dt$$
Dejemos que $\{x_n\}$ sea una secuencia de números reales tal que $x_n \to \infty$ como $n \to infty$ entonces $$ \lim_{x \to \infty} \int_{-x}^x f(t) dt = \lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} f(t) \chi_{ (-x_n, x_n)} (t) dt$$ Dejemos que $g_n(x) = f(t) \chi_{(-x_n, x_n)}$ entonces $|g_n(x)|=|f(t) \chi_{(-x_n,x_n)}| \le |f(t)| \in L^1$ . Además, como $n \to \infty$ tenemos $g_n(x) \to f(t) \chi_{(-\infty, \infty)}$ . Entonces por convergencia dominada por Lebesgue tenemos,
$$\lim_{x \to \infty} \int_{- x}^{x} f(t) dt = \int_{\mathbb{R}} \lim_{n \to \infty} f(t) \chi_{(-x_n, x_n)} (t) dt = \int_{- \infty}^{\infty} f(t) dt$$
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