Función suelo de un número real

Question

El suelo de un número real $x$ , denotado por $x$ es el mayor número entero que es menor o igual a $x$ . El techo de un número real x, denotado por $x$ es el menor número entero que es mayor o igual a $x$ . Sea $x$ y $y$ sean números reales cualesquiera. Sea $n, m$ y $k$ sean cualesquiera números enteros.

1. $x \le x < x+1$ , o lo que es lo mismo $x-1 < x \le x$ .

2. $x-1 < x \le x$ , o lo que es lo mismo $x \le x < x+1$ .

3. Si $n \le x < n+1$ (o $x-1 < n \le x$ ), entonces $n=x$ ; del mismo modo, si $n-1 < x \le n$ (o $x \le n < x+1$ ), entonces $n=x$ .

4. Si $x \le y$ entonces $x \le y$ y $x \le y$ . Del mismo modo, para $x \ge y$ .

5. Si $n \le x$ entonces $n \le x$ . Si $n \ge x$ entonces $n \ge x$ .

6. Si $x$ tiene un valor entero, entonces $x=x=x$ . Si x tiene un valor no entero, entonces $x=x+1$ .

Además, tenemos la conocida desigualdad $ \frac {x-1}{x} \le \ln x \le \frac {x^2 -1}{2x} \le x-1$ Estoy tratando de encontrar todos los pares de números reales positivos $(x,y)$ tal que $ \ln(x+y )=y+x,$ pero las identidades anteriores son difíciles de seguir. Gracias

Answer 1

Lo siguiente sí no utilizar el hecho de que $e$ es trascendental.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $$\tag 1\lfloor x+y\rfloor \le\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1$$ para todos los reales $x,y$ .

Tome la exponencial de ambos lados de la ecuación del objetivo para llegar a la condición equivalente $$ \lfloor x+y\rfloor =e^{\lfloor x\rfloor}e^{\lfloor y\rfloor}$$ Utilizando la madre de todas las $e$ -incalidades, $$\tag{$ \N - La estrella $} e^t\ge 1+t\qquad\text{with equality iff }t=0,$$ encontramos (como $x,y$ son positivos por suposición) $$\tag2 \begin{align}\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor +1&\ge \lfloor x+y\rfloor \\&=e^{\lfloor x\rfloor} e^{\lfloor y\rfloor}\\&\ge(1+\lfloor x\rfloor)(1+\lfloor y\rfloor)\\&=1+\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor +\lfloor x\rfloor\lfloor y\rfloor\end{align}$$ por lo que debemos tener $\lfloor x\rfloor\lfloor y\rfloor =0$ y la desigualdad en $(2)$ es agudo. por la condición de agudeza en $(\star)$ concluimos que $$\lfloor x\rfloor =\lfloor y\rfloor=0$$ y explotando $(2)$ , ahora una igualdad, $$ \lfloor x+y\rfloor =\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor +1=1.$$ por lo tanto, un necesario condición es que $$\fbox{$ \cuadro0le x<1, \cuadro 0\le y<1, \cuadro1\le x+y.\N-cuadrovphantom\int $}$$ Como esto implica $x+y<2$ vemos inmediatamente que estos también son suficiente mientras calculamos $\ln\lfloor x+y\rfloor=\ln 1=0$ y $\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor = 0+0=0$ .

Answer 2

Obsérvese que el lado derecho es un número entero, por lo que el lado izquierdo también debe serlo. Esto significa que $\lfloor x+y\rfloor$ es una potencia entera de $e$ pero también es un número entero, por lo que debe ser $1$ y el $\log$ es $0$ . Esto da $$\lfloor x+y\rfloor=1\\ \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor=0$$ Si cualquiera de los dos $x$ o $y$ es mayor o igual que $1$ la segunda fallará, por lo que nuestra solución final es $$0 \lt x \lt 1\\ 1-x \lt y \lt 1$$ o la parte del cuadrado de la unidad por encima de $x+y=1$ Es la región estrictamente dentro del triángulo de abajo

Answer 3

Consideremos dos casos para reales positivos $x$ y $y$ . Tenga en cuenta que necesitamos $x + y \geq 1$ para que el lado izquierdo de la ecuación esté definido, así que hacemos esta suposición.

• Si $x,y < 1$ entonces la ecuación se mantiene, ya que ambos lados son iguales a cero.
• Si $x \geq 1$ entonces supongamos que la igualdad se mantiene, por lo que $e^{\lfloor x \rfloor}e^{\lfloor y \rfloor} =\lfloor x + y \rfloor$ . Desde $x \geq 1$ , $e^{\lfloor x \rfloor}$ no es un número entero, por lo que el lado izquierdo no es un número entero, una contradicción ya que el lado derecho sí lo es. De forma similar, cuando $y \geq 1$ .

Así, las únicas soluciones reales positivas $(x,y)$ se caracterizan por el primer caso.