¿Cómo calcular la inversa de un punto respecto a una circunferencia?

Question

La teoría decía: La inversa de un punto $P$ con respecto a un círculo centrado en $O$ y tiene un radio $r$ es el punto $P'$ tal que

1. Los tres puntos $O$ , $P$ y $P'$ son colineales.
2. $OP \times OP'=r^2$

Pero no sé cómo calcularlo. Por ejemplo, dado un punto $P=(x,y)$ ¿Cuál es la fórmula para calcular su inversa? $P'=(x',y')$ con respecto al círculo centrado en $O=(0,0)$ y tiene el radio $r=1$ .

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Solución

Gracias a la pista de @Cameron Buie la solución es $x'=\alpha x$ y $y'=\alpha y$ donde $\alpha = \frac{r^2}{x^2 + y^2}$ .

Y para el caso más general con el círculo de inversión centrado en cualquier punto $O=(h,k)$ en lugar de sólo en el origen, la solución se convierte en $x'=\alpha (x-h) + h$ y $y'=\alpha (y-k) + k$ donde $\alpha = \frac{r^2}{(x-h)^2 + (y-k)^2}$

Answer 1

Sugerencia : Como quieres que los puntos sean colineales y tu círculo está centrado en el origen, entonces necesitas $x'=\alpha x,y'=\alpha y$ para algún positivo $\alpha$ . Puede utilizar el número de requisito $2$ para resolver $\alpha$ en términos de $x,y,r$ ?