Mapeo de los vectores base

Question

Me he topado con esta frase en mis apuntes de Álgebra Lineal:

Un isomorfismo es una tranformación lineal biyectiva entre dos $K$ -de los espacios vectoriales, que preserva la estructura.

Consideremos un isomorfismo $f:V\to W$ con $\mathcal{B}$ una base para $V$ . Como los isomorfismos preservan la estructura, ¿puedo suponer que todos los vectores de la base $\mathcal{B}$ se asignará a un vector base en $W$ ? En otras palabras: ¿los elementos de la base se asignan a elementos de la base, bajo isomorfismos?

Answer 1

Supongamos que $v_1,\ldots,v_n$ es una base para $V$ . Mostraremos $f(v_1),\ldots,f(v_n)$ es una base para $W$ .

Primero vamos a demostrar que estos vectores son linealmente independientes. Supongamos que $\sum \lambda_i f(v_i) = 0$ . Entonces, efectivamente $f\left( \sum \lambda_i v_i\right) = 0$ y como $f$ es un isomorfismo, es inyectivo y por lo tanto esto implica que $\sum \lambda_i v_i = 0$ . Desde $v_i$ es una base para $V$ Esto implica $\lambda_i = 0$ para todos $i$ y por lo tanto que el $f(v_i)$ son linealmente independientes.

A continuación mostramos que se extienden. Sea $w \in W$ . Desde $f$ es suryente, existe $v \in V$ tal que $f(v) = w$ . Escriba $v = \sum \lambda_i v_i$ para algunos $\lambda_i \in K$ . Entonces $$w = f\left(\sum \lambda_i v_i\right) = \sum \lambda_i f(v_i)$$ De ahí que el $f(v_i)$ también son de extensión, y como son un conjunto de extensión linealmente independiente son una base para $W$ .