Siempre se cumple que: $ v(\cup_{n=1}^{\infty} A_n) \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty} v(A_n)$?

Question

Deje $v : \mathcal {P}(\mathbb R) \to [0,\infty]$ una función tal que $\displaystyle{ v(F \cup E) \leq v(E) + v(F) \quad \forall E,F \subset \mathbb R}$.

Siempre se cumple que: $ \displaystyle{ v\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} v(A_n)}$ ?

Creo que esto no es pero no puedo encontrar un contraejemplo. Alguna ayuda?

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Deje $\nu\colon \mathcal{P}(\mathbb{R})\to [0,\infty]$ ser la función de $\nu(A) = 0$ si $A$ es finito y $\nu(A) = \infty$ si $A$ es infinito. A continuación, $\nu(\mathbb{N}) = \infty$ pero $\sum_{n\in \mathbb{N}}\nu(\{n\}) = 0$.

Answer 2

Definir $v$ $0$ si el conjunto es acotado, y $\infty$ si el conjunto es infinito. Si $F$ $E$ son acotados, entonces también lo es $F\cup E$, lo $v(F\cup E)\leq v(E)+v(F)$ está satisfecho.

Ahora vamos a $A_n = [-n,n]$. A continuación, $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n = \mathbb{R}$ es ilimitado, y $v(A_n) = 0$ todos los $n$, por lo que $$v\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) = \infty \gt 0 = \sum_{n=1}^{\infty}v(A_n).$$

Answer 3

El propósito de esta pregunta es para demostrar que si $\nu$ subadditive no implica que $\nu$ $\sigma$-aditivo. Las respuestas de arriba muestra que el hecho de que.

Es bien sabido que, si $\nu$ es una medida, entonces:

$$ \nu \ \sigma\text{-additive} \ {\Longrightarrow} \ \nu \ \sigma\text{-subadditive} \ {\Longrightarrow} \ \nu \ \text{subadditive} $$