Descripción del subespacio afín

Question

Sé que un subespacio afín es una traslación de un subespacio lineal. También sé que $\{\lambda_0 v_0 + \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_n v_n : \sum_{k=0}^{n}\lambda_k = 1\}$ para los vectores $v_i$ es un subespacio afín.

Un libro que estoy leyendo habla de los subespacios afines de la siguiente manera:

1) Damos por sentado que los subespacios afines pueden describirse mediante ecuaciones afines.

2) Como imagen afín de algún espacio vectorial $R^k$ .

3) Como el núcleo de algún mapa afín

4) Como la intersección de hiperplanos afines (los hiperplanos se definen como subespacios afines de 1 dimensión menos que el espacio ambiente)

No estoy seguro de entender estas 4 descripciones de espacios afines. Para (1) ¿Por ecuaciones afines quieren decir el conjunto de combinaciones afines? O tal vez como la ecuación de un plano es $ax + by + cz + d = 0$ ? ¿Y para un espacio afín de mayor dimensión añadimos más variables en la ecuación?

Para (2) supongo que encontramos un mapa lineal desde $R^k$ en el subespacio de la misma dimensión que nuestro espacio afín, y luego traducir para que nuestro espacio afín sea la imagen?

Para (3) supongo que, de forma similar, primero encontramos un mapa lineal que desaparece en el subespacio asociado a nuestro espacio afín, y luego lo trasladamos a 0?

Para (4) supongo que en $R^3$ ¿se puede producir una línea afín como intersección de planos afines? Supongo que afirman que se trata de un fenómeno general.

Answer 1

Un hiperplano afín $A$ en $\Bbb R^n$ puede venir dada por una ecuación $u^Tx=c$ donde $u$ es un vector normal para $A$ y $c\in\Bbb R$ .
En consecuencia, una intersección de hiperplanos afines puede venir dada por el sistema de ecuaciones afines $$u_1^Tx=c_1\\ \ \ \ \dots \\u_k^Tx=c_k$$ que se puede reescribir en forma de matriz: $$Ux=c$$ Esto demuestra 1) $\iff$ 4), considerando además el mapa afín $\phi:\Bbb R^k\to\Bbb R^n\ \ x\mapsto Ux-c$ , esto también muestra equivalencia con 3).

Podemos comprobar fácilmente que cualquiera de las propiedades 1)-4) aseguran que el conjunto en cuestión es cerrado bajo combinaciones afines.

A la inversa, si un no vacío $A$ es cerrado bajo combinaciones afines, elija cualquier $a_0\in A$ entonces $A-a_0$ es un subespacio lineal, entonces, por ejemplo, la elección de una base para $A-a_0$ podemos obtener un mapa lineal $\psi_0:\Bbb R^m\to\Bbb R^n$ tal que $\mathrm{im}(\psi_0)=A-a_0$ por lo que la imagen del mapa afín $\psi:=\psi_0+a_0$ es sólo $A$ . Esto conecta con el 2).

Finalmente, suponiendo 2), $A=\mathrm{im}(\psi)$ y luego otra vez, $B:=A-\psi(0)$ es un subespacio lineal, por lo que (por ejemplo, extendiendo una base de $B$ ) podemos definir un mapa lineal $\phi_0$ que desaparece exactamente en $B$ y luego el mapa afín $\phi:=\phi_0+\psi(0)$ se desvanecerá exactamente en $A$ , probando 3).