Por cada $t$ en $(0,1)$ , $t\leqslant \mathrm e^t-1\leqslant t+t^2$ por lo que $J(a)\leqslant I(a)\leqslant J(a)+K(a)$ con $$ J(a)=\int_1^{+\infty}\mathrm e^{-ay}\frac{\mathrm dy}y,\quad K(a)=\int_1^{+\infty}\mathrm e^{-2ay}\frac{\mathrm dy}{y^2}. $$ El cambio de variables $y=1+(x/a)$ rinde $a\mathrm e^{a}J(a)=L(a)$ y $a\mathrm e^{2a}K(a)=M(a)$ con $$ L(a)=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm e^{-x}\mathrm dx}{1+x/a},\quad M(a)=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm e^{-2x}\mathrm dx}{(1+x/a)^2} $$ Uso de los límites $1-t\leqslant1/(1+t)\leqslant1$ y $1/(1+t)^2\leqslant1$ para cada no negativo $t$ se ve que $$ 1-a^{-1}\leqslant L(a)\leqslant1,\quad M(a)\leqslant\tfrac12. $$ Así, $$ a^{-1}\mathrm e^{-a}(1-a^{-1})\leqslant I(a)\leqslant a^{-1}\mathrm e^{-a}(1+\tfrac12\mathrm e^{-a}). $$ En particular, $I(a)=a^{-1}\mathrm e^{-a}+O(a^{-2}\mathrm e^{-a})$ cuando $a\to+\infty$ Es decir, $$ \color{red}{\lim\limits_{a\to+\infty}a\mathrm e^aI(a)=1}. $$
En cuanto al límite $a\to0$ una integración por partes da como resultado $$ L(a)=a\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x}\log(1+x/a)\mathrm dx=aN(a)-a\log(a), $$ con $$ N(a)=\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x}\log(a+x)\mathrm dx. $$ Otra integración por partes da como resultado $M(a)=a-aL(2a)$ . Desde $N(a)=N(0)+o(1)$ y $N(0)$ es finito, se obtiene $$ a^{-1}L(a)=-\log(a)+O(1),\quad a^{-1}M(a)=1+O(1). $$ Desde $\mathrm e^{-a}=1+O(a)$ y $\mathrm e^{-2a}=O(1)$ , se ve que $J(a)$ y $J(a)+K(a)$ son ambos $-\log(a)+O(1)$ . Por último, cuando $a\to0$ , $I(a)=-\log(a)+O(1)$ y en particular, $$ \color{red}{\lim\limits_{a\to0}\frac{I(a)}{\log a}=-1}. $$
