¿Por qué la expectativa condicional de un $L^{p}$ -función de nuevo en $L^{p}$ ?

Question

Dejemos que $(\Omega, \mathcal{A},P)$ sea un espacio de probabilidad y sea $X,Y\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ sean variables aleatorias. Además, dejemos que $Y$ sea $p$ -integrable. Entonces, ¿por qué la expectativa condicional $\mathbb{E}[Y \vert X]$ de nuevo necesariamente $p$ -¿Integrable?

Saludos cordiales y muchas gracias.

Answer 1

Por desigualdad condicional de Jensen y del hecho de que $x\mapsto |x|^p$ es convexo para $p\ge 1$ encontramos que $$ \left|\Bbb E\left[Y\big|X\right]\right|^p\le\Bbb E\left[|Y|^p\big|X\right],\quad\text{a.s.} $$ De ello se desprende que $$ \Bbb E\left[\left|\Bbb E\left[Y\big|X\right]\right|^p\right]\le \Bbb E\left[\Bbb E\left[|Y|^p\big|X\right]\right]=\Bbb E\left[|Y|^p\right]<\infty. $$