El sistema $A^Ty\le0,A^Ty\ne 0$ no tiene solución

Question

$A \in \mathbb R^{m \times n}$ . Supongamos que el siguiente sistema no tiene solución: $$Ax=0, x>0$$ Entonces el siguiente sistema tiene solución: $$A^Ty\le0,A^Ty\ne 0$$

Mi intento :
Primero supuse, por el contrario, que para todos $y$ entonces $A^Ty\not \ge0$ y si $A^Ty\le0$ entonces $A^Ty=0$ . Mediante este supuesto se intenta encontrar un vector $x>0$ tal que $Ax=0$ pero me quedé atascado.
Luego intenté manipular el primer sistema en una forma que se ajustara al lema de Farkas y luego utilizar el lema, de nuevo sin éxito.

¿Ideas de Aby?

Answer 1

He aquí una solución parcial utilizando el lema de Farkas:

El sistema

\begin{equation} \begin{array}{l} Ax=0\\x>0 \end{array} \end{equation}

tiene solución si el sistema

\begin{equation} \begin{array}{l} Ax=0\\x\geqslant\mathbb{1} \end{array} \end{equation}

tiene solución si el sistema

\begin{equation} \begin{array}{l} Ax=0\\x-s=\mathbb{1}\\x,s\geqslant0 \end{array} \end{equation}

tiene una solución. El sistema final es equivalente al sistema

\begin{equation} \begin{array}{l} \begin{bmatrix}A&0\\I&-I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\mathbb{1}\end{bmatrix}\\ x,s\geqslant0 \end{array} \end{equation}

Aplique el lema de Farkas a este sistema y vea si lo consigue.