En cuanto a la transformación en un disco unitario uniformemente distribuido

Question

$(X,Y)$ se distribuye uniformemente en el disco unitario.

Las transformaciones son:

$$ Z = {X + Y \over \sqrt{2}}\,,\qquad W = {X - Y \over \sqrt{2}} $$

He resuelto estas ecuaciones en términos de $X$ y $Y$ y lo conseguí:

$X$ = $(Z+W)/\sqrt(2)$

$Y$ = $(Z-W)/\sqrt(2)$

que tiene un jacobiano igual a 1. La distribución conjunta de $Z$ y $W$ debe ser

$f(z, w)$ = $1/2\pi$ pero con alcance - $\sqrt(2)$ $<$ $z$ $<$ $\sqrt(2)$ . No estoy seguro de cómo restringir el rango de W.

Las preguntas de interés son:

(a) ¿Cuál es la distribución de Z? Encuentra $E[Z]$ y $Var[Z]%|$ .

Parece bastante fácil ver que $E[Z] = 0$ ya que la expectativa de $X$ y $Y$ son ambos cero (ambas variables aleatorias están centradas en torno a cero). Sin embargo, ¿cómo podríamos calcular $E[X^2]$ para calcular la varianza?

(b) ¿Están Z y W descorrelacionados? ¿Y son independientes?

Creo que no están correlacionados, pero que no son independientes. Creo que esta parte podría ser más fácil después de averiguar el rango exacto de la distribución conjunta.

(c) ¿Cuál es la distribución de $X/Y$ (la relación entre X e Y)?

Hacer la transformación $U$ = $X/Y$ y $V$ = $Y$ tenemos el jacobiano 1. Estoy confundido en cuanto a cuál debe ser el rango de la distribución conjunta.

(d) ¿Cuál es la distribución de $Z/W$ ?

Me imagino que esta parte será más fácil después de resolver la parte (c)

Answer 1

La transformación que ha elegido es una rotación de coordenadas por lo que la densidad conjunta de $W$ y $Z$ es la misma que la densidad conjunta de $X$ y $Y$ es decir, que tiene valor $\pi^{-1}$ dentro del disco de la unidad y el valor $0$ fuera. Si bien es cierto que los valores máximos de $X$ y $Y$ son $1$ no pueden adquirir valor $1$ simultáneamente y así su rango $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ es incorrecto.

(a) Encontrar $\displaystyle E[X^2] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x^2 f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$ , cambiar a coordenadas polares. También necesitará $\operatorname{cov}(X,Y)$ que también se puede encontrar calculando $E[XY]$ mediante el cambio a coordenadas polares.

(b) No correlacionado es fácil de hacer ya que $E[ZW] = \frac{1}{2}E[X^2-Y^2] = 0$ . ¿Por qué? No son independientes por la misma razón que $X$ y $Y$ no son independientes: el soporte de la densidad conjunta no es un conjunto de productos y por lo que la densidad conjunta no es un factor en el producto de los marginales de las densidades marginales en todo el plano.

(c) No uses los jacobianos aquí, sólo pregúntate cómo podrías calcular $P\{Y/X \leq \alpha\}$ directamente. Hacer un dibujo le ayudará enormemente aquí. Pero si no, mira esta respuesta .

(d) Dado que la densidad conjunta de $Z$ y $W$ es la misma que la densidad conjunta densidad de $X$ y $Y$ , ....