Convergencia uniforme de funciones decrecientes en conjuntos finitos crecientes

Question

Dejemos que $f_k$ sea una función del conjunto finito $S_k$ al intervalo real [0,1], con $S_k\subseteq S_{k+1}$ . Dejemos también $S=\bigcup_{k\ge 1} S_k$ y asumir que $S$ es el conjunto de números racionales en [0,1].

Si $f_k(x)$ converge puntualmente a la función cero $f(x)=0$ con $f:S\to[0,1]$ y $0\le f_{k+1}(x)\le f_{k}(x)$ demostrar o refutar que la convergencia es realmente uniforme sobre $S$ .

Nota . Puede que la respuesta esté en el teorema que se ha comunicado aquí . Lamentablemente, no tengo acceso al libro de Spivac y no tengo claro si puedo aplicarlo (por ejemplo, $S$ no es compacto).

Answer 1

Considere $$ f_k(x)=\left\{\begin{array}{} x^k&\text{if }x\ne1\\ 0&\text{if }x=1 \end{array}\right. $$ $f_k$ convergen puntualmente a $0$ y $0\le f_{k+1}(x)\le f_k(x)$ pero la convergencia no es uniforme.