Cómo probar :: $ A \subset B, B \subset C, C \subset A \Rightarrow B = C $

Question

Dejemos que $A,B \text{ and } C$ son tres conjuntos entonces si $ A \subset B, B \subset C, C \subset A \Rightarrow B = C $

¿Cómo podemos demostrarlo?

Answer 1

Esto es efectivamente pedir que se pruebe $B \subseteq C \land C \subseteq B \implies B = C$ . La forma habitual de demostrarlo es utilizar el Axioma de Extensionalidad - es decir, tomar un elemento $b \in B$ y demostrar que está en $C$ . Entonces demuestre que $c \in C \implies c \in B$ . La extensionalidad le dice ahora que los dos conjuntos son idénticos.

Answer 2

Verbosamente:

Digamos que $A \subseteq B \subseteq C \subseteq A$ . Entonces, en particular,

$x \in A \Rightarrow x \in B$ por la primera inclusión, pero por la segunda tenemos $x \in B \Rightarrow x \in C$ .

Contratación, $x \in A \Rightarrow x \in C$ pero la inclusión más a la derecha nos dice que $x \in C \Rightarrow x \in A$ para que $x \in A \Leftrightarrow x \in C$ . Por el axioma de extensionalidad obtenemos que $A = C$ .

Ahora por la segunda inclusión, $x \in B \Rightarrow x \in C$ pero como $C=A$ Debemos tener $x \in B \Rightarrow x \in A$ de modo que con la primera inclusión $x \in A \Leftrightarrow x \in B$ y de nuevo por el axioma de extensionalidad tenemos que $A=B$ . Ahora $A=C$ y así $A=B=C$ .