Falsas pruebas usando matrices

Question

Después de haber pasado a través de la página 16 de la lista de preguntas usando la etiqueta (falso-pruebas), y aunque va Mejor Falsas Pruebas? (A M. SE abril Día de los inocentes de la colección) y https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_fallacyno encontré una sola prueba falsa que intervienen matrices.

Así que la pregunta aquí es: ¿cuáles son algunos falsos prueba utilizando matrices? En particular, el punto es que la prueba debe utilizar una propiedad, una operación, etc. específicos para las matrices, por ejemplo,

• Noncommutativity
• (No)existencia de una relación inversa entre la
• Matriz de tamaños
• Operaciones como $\det$, $\text{trace}$, ...
• Valores propios y diagonalización
• Matriz de descomposición
• ...

Voy a intentar dar dos ejemplos:

1. La prueba de que 1 = 0

Prueba: es un hecho bien conocido que la $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Ahora vamos a $$x = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\;\;y = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Por un lado, tenemos que $$ (x+y)^2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix},$$ por otro lado tenemos $$x^2 + 2xy + y^2 = \begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Puesto que dos matrices son iguales si y sólo si todas sus entradas son iguales, llegamos a la conclusión de que $1 = 0$.

El error aquí es que $x$ $y$ no conmutan. Por lo tanto $(x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 \neq x^2 + 2xy + y^2$.

2. La prueba de que 2 = 0

Prueba: sabemos que $\det AB = \det BA$, ya que el $$\det AB = (\det A) (\det B) = (\det B) (\det A) = \det BA.$$

Ahora consideremos las matrices $$ A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \; \; B = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$ Tenemos que $$AB = \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \;\; BA = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$ Claramente $\det AB = 2$$\det BA = 0$, por lo $2 = 0$.

El error aquí es que $\det$ está definido para matrices cuadradas sólo, y por lo tanto $\det AB = \det BA$ solo es cierto en general si $A$ $B$ son cuadrados.

Answer 1

Para probar: $0=1$.

Ciertas identidades get funky, cuando se pasa a infinito-el orden de las matrices. Vemos tales matrices, por ejemplo, en las representaciones de los operadores en mecánica cuántica.

Todo el mundo sabe que

$Tr(AB-BA)=Tr(AB)-Tr(BA)=0$.

Así que vamos a

$A_{i,j}=\delta_{i,j-1}, B_{i,j}=A_{j,i}$

Aquí $\delta$ es la función delta de Kronecker, y $i$ $j$ ejecutar a través de todos los naturales de mumbers.

A continuación, $AB-BA$ tiene un 1 en la parte superior izquierda de la posición y ceros en todas las demás. La suma de la diagonal de elments es 1 y, sin embargo,"$Tr(AB-BA)=0$".

$Tr(AB-BA)=0$ está garantizada sólo para finitos matrices o, entre infinitas matrices, cuando las huellas de $AB$ $BA$ convergen absolutamente.