Encuentre una fórmula para $a_n$ que satisface $a_0 = 1$ y $a_{n} = 2 \sqrt{a_{n-1}}$ si $ n > 0$

Question

$a_{n} = 1 \ \ when \ \ n = 0 , and \ \ a_{n} = 2 \sqrt{a_{n-1}} \ \ when \ \ n > 0$

Soy un completo principiante en la resolución de algo como esto, y no estoy seguro de por dónde empezar. Los dos métodos que conozco son la expansión iterativa que me cuesta entender cómo funciona. Y sé cómo usar la inducción, pero no estoy seguro de cómo aplicarla aquí.

Ahora, haciendo algunos términos a mano (espero que correctamente) esto es lo que obtuve,

$ 1, 2, 2\sqrt{2}, 2\sqrt{2\sqrt{2}}$ y estoy bastante seguro de que sólo tiene n cantidad de $2\sqrt{2}$ bajo el signo sqrt.

No sé cómo avanzar con este tipo de problemas en general. Gracias.

Answer 1

$$a_n=2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}$$ $$=2^{(1+\frac12+\frac14+...+\frac1{2^{n-1}})}$$ $$=2^{\bigg(\frac{1-\frac1{2^n}}{1-\frac12}\bigg)}$$ $$=2^{2(1-\frac1{2^{n}})}$$ $$=4^{(1-\frac1{2^{n}})}$$

Answer 2

Divídelo por 4 y obtendremos $${a_n\over 4} =\sqrt{a_{n-1}\over 4}$$

Dejemos que $b_n = a_n/4$ entonces tenemos $$b_n = \sqrt{b_{n-1}}$$ $$=\sqrt[2^2]{b_{n-2}}$$

$$=\sqrt[2^3]{b_{n-3}}$$ $$=\sqrt[2^4]{b_{n-4}}$$ $$\vdots $$ $$=\sqrt[2^n]{b_{0}}$$

Desde $b_0= a_0/4 = 1/4$ tenemos $$a_n = 4\cdot \sqrt[2^n]{{1\over 4}}$$

Answer 3

Has encontrado la secuencia comienza $2^0,\,2^1,\,2^{3/2},\,2^{7/4}$ . Se puede demostrar por inducción que $a_n=2^{2-2^{1-n}}$ . (Es útil definir primero $b_n:=\log_2 a_n$ así que $b_0=0,\,b_{n+1}=\frac{b_n}{2}+1$ , lo que implica $b_n$ difiere del punto fijo $2$ de $x\mapsto\frac{x}{2}+1$ por una secuencia geométrica).