Encuentre el valor de $\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{a}{n\left(n+a\right)}$

Question

Encontrar el valor de $\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{a}{n\left(n+a\right)}$ $(a>0)$

Sólo puedo analizar $\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{a}{n\left(n+a\right)}=a\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{1+a}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+a}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+a}...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a}\right)$

¿Puede alguien ayudarme? Gracias

Answer 1

Es $\psi (a + 1) + \gamma$ , donde $\psi$ es la derivada logarítmica de la función gamma y $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni, cf. http://dlmf.nist.gov/5.7.E6 y http://dlmf.nist.gov/5.5.E2 Utilizando este hecho, se deduce, por ejemplo, que $$ \log a + \gamma + \frac{1}{{2a}} - \frac{1}{{12a^2 }} < \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{a}{{n(n + a)}}} < \log a + \gamma + \frac{1}{{2a}} $$ para todos $a>0$ (ver http://dlmf.nist.gov/5.11.ii ). Además, para $-1<a<1$ se sostiene que $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{a}{{n(n + a)}}} = \sum\limits_{k = 2}^\infty {( - 1)^k \zeta (k)a^{k - 1} } , $$ donde $\zeta$ denota la función zeta de Riemann (véase http://dlmf.nist.gov/5.7.E4 ).

Answer 2

Esto responde a si $a \ \epsilon \ Z^+$ (Desplácese hacia abajo para ver Real Positive a),

Este tipo de problemas se conocen como Sumas telescópicas ,

Puede encontrar fácilmente un buen lote de estos aquí,

$$\frac {(n+a)-(n)}{(n)(n+a)} = \frac 1n - \frac 1{n+a}$$

Así que en la suma dada, ya que a es un número entero, la suma se puede reescribir como

$$\sum \lbrace \frac {a}{(an+a)(an)} +\frac {a}{(an+a+1)(an+1)} ... \frac {a}{(an+2a -1)(an+a-1)}\rbrace$$

En otras palabras, todos los términos en posiciones que dan el mismo resto con a se agrupan por conveniencia.

Dentro de una agrupación,

$$\lbrace \frac 1{(k)} - \frac 1{(a+k)} \rbrace + \lbrace \frac 1{(a+k)} - \frac 1{(2a+k)} \rbrace ...$$

El último término tenderá a 0,

Así que finalmente,

$$\text {given sum} = \sum _{k=1} ^a \frac 1{k}$$

Si $a \ \epsilon \ R^+$ ,

Puede resolver esto utilizando algo llamado Sumas de Riemann que una gran historia de fondo y se ocupa de cómo se desarrolló el concepto de integral.

$$\lim _{n \rightarrow \infty}\sum _0 ^{n} \frac {b-a}{n} f\left( a+\frac {k(b-a)}{n}\right) = \int _a ^b f(x) dx$$

$$\text {Given Sum} = \lim _{N \rightarrow \infty} \lim _{n \rightarrow \infty} \sum _1 ^n \frac {N-0}{n} \frac {a}{\left( k \frac Nn\right) \left( k \frac Nn + a\right)}$$ $$= \sum _0 ^n \frac {N}{n} \frac {a}{\left( (k+1) \frac Nn\right) \left( (k+1) \frac Nn + a\right)}$$

$$= \int _0 ^\infty \frac {a}{(x+1)(x+1+a)} dx$$

Una vez más se puede telescopiar como hice en el entero para conseguir que esto sea igual a la integral de abajo

$$\int _0 ^a \frac 1{x+1} dx$$ Lo que también es igual a la solución más general del problema discutido en la respuesta de Gary $\psi^{(0)} (a+1) + \gamma$ (El resultado para el caso de los enteros también era igual a esta forma general)

Answer 3

Llamemos a la suma original $\lim_{n \to \infty} V_n$ .

Solución asintótica para $V_n$ con $a>0$ La primera suma es armónica, por lo que es $\log n + O(1)$ . La segunda suma es $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+a} = \lim_{n \to \infty} S_n $$ Cada valor de la tupla (argumento, valor) en esta suma, $(1, \frac{1}{1+a}), (2, \frac{1}{2+a}) \ldots (n, \frac{1}{n+a})$ es, de hecho, el área de un rectángulo: $r_1 = (2-1) \times \frac{1}{1+a}, r_2= (3-2) \times \frac{1}{2+a} , \ldots r_n = (n+1-n) \times \frac{1}{n+a}$ , por lo que la suma $S_n$ es igual a la suma de las áreas de estos rectángulos.

El siguiente paso es comparar cada $r_j$ a la función $f(x) = \frac{1}{x+a}$ . Para cada intervalo $[1,2], (2,3], \ldots (n, n+1)$ área de $r_j$ integral de límites superiores de $f(x)$ :

$$ r_j > \int_{j}^{j+1} f(x)dx = \log \frac{j+1+a}{j+a} $$ Si sumamos el LHS y el RHS de esta desigualdad, obtenemos el límite inferior de S_n:

$$ S_n > \sum_{j=1}^{n} > \sum_{j=1}^{n} \log \frac{j+1+a}{j+a} = \log (n+a+1) - \log (a+1) $$

Como resultado, se obtiene un límite superior de la suma original:

$$ V_n < H_n - \log (n+a+1) + \log (a+1) = \log (a+1) + \gamma + \log (\frac{n}{n+a+1}) = \log (a+1) + \gamma + O(\frac{1}{n}) $$

EDIT: me equivoqué de signo la primera vez. También $\log \frac{n}{n+a+1} = -\log (1+\frac{a+1}{n}) \sim - \frac{a+1}{n} = O(\frac{1}{n})$