¿Cómo funciona la fórmula para generar variables aleatorias correlacionadas?

Question

Si tenemos 2 variables aleatorias normales no correlacionadas $X_1, X_2$ entonces podemos crear 2 variables aleatorias correlacionadas con la fórmula

$Y=\rho X_1+ \sqrt{1-\rho^2} X_2$

y luego $Y$ tendrá una correlación $\rho$ con $X_1$.

¿Alguien puede explicar de dónde viene esta fórmula?

Answer 1

El coeficiente de correlación es el $\cos$ entre dos series si se tratan como vectores (donde el punto de datos $n^{th}$ es la dimensión $n^{th}$ de un vector). La fórmula anterior simplemente crea una descomposición de un vector en sus componentes $\cos\theta$, $sin\theta$ (con respecto a $X_1,X_2$). Si $\rho = cos \theta$ , entonces $\sqrt{1-{\rho}^2}=\pm sin \theta$.

Porque si $X_1, X_2$ no están correlacionados, el ángulo entre ellos es un ángulo recto (es decir, se pueden considerar como vectores base ortogonales, aunque no normalizados).