Cambio de límites en la integral triple

Question

La pregunta es

Si $f$ es continua, demuestre que $$\int\limits_0^x\int\limits_0^y\int\limits_0^z f(t)dtdzdy = \frac{1}{2}\int\limits_0^x (x-t)^2f(t)dt.$$

La solución es \begin{equation*} \begin{split} \int\limits_0^x\int\limits_0^y\int\limits_0^z f(t)dtdzdy &= \int\limits_0^x\int\limits_0^y f(x)(y-t)dtdy = \int\limits_0^x\int\limits_t^x f(t)(y-t)dydt =\\&=\int\limits_0^xf(t)\left(\int\limits_t^x (y-t)dy\right)dt = \frac{1}{2}\int\limits_0^x f(t)(x-t)^2dt, \end{split} \end{equation*} Sin embargo, no puedo entender las dos primeras igualdades. ¿Alguien puede explicarlos?

Answer 1

En la doble integral $\ \int\limits_0^y\int\limits_0^z f(t)dtdz\ $ la región sobre la que se realiza la integración es $\ \left\{\left(t,z\right)\left\vert\, 0\le t\le z \le y\right. \right\}\ $ . Esto debe ser igual, independientemente del orden en que se realicen las dos integrales simples. Cuando se integra con respecto a $\ z\ $ , hay que hacerlo para cada valor de $\ t\ $ en el intervalo $\ \left[0, y\right]\ $ y en la integral $\ z\ $ debe ir desde $\ t\ $ a $\ y\ $ . Es decir, la integral es $$\ \int\limits_0^y\int\limits_t^y f(t)dzdt=\ \int\limits_0^y\left(\int\limits_t^y 1\right)dzf(t)dt = \int\limits_0^y\left(y-t\right) f(t)dt\ ,$$ porque $\ f(t)\ $ es independiente de $\ z\ $ .

Del mismo modo, para la integral $\ \int\limits_0^x\int\limits_0^y\left(y-t\right) f(t)dtdy\ $ la región de integración es $\ \left\{\left(t,x\right)\left\vert\, 0\le t\le y \le x\right. \right\}\ $ así que cuando inviertes el orden de integración.., $\ y\ $ debe ir desde $\ t\ $ a $\ x\ $ y obtenemos $$\ \int\limits_0^x\int\limits_0^y \left(y-t\right)f(t)dtdy=\ \int\limits_0^x\left(\int\limits_t^x \left( y-t\right)\right)dyf(t)dt\ .$$