Estoy empezando a aprender mecánica cuántica, y el libro que estoy leyendo (Griffiths) afirma que toda solución de la ecuación de Schrödinger se puede escribir como una combinación lineal de las soluciones separables: $$ \Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}. $$ Sin embargo, no proporciona una prueba de que el conjunto de $\psi_n(x)$ es una base completa, incluso para un $V(x)$ . Entiendo que la completitud se puede demostrar en casos específicos como el pozo cuadrado infinito, el oscilador armónico simple, etc., resolviendo primero las soluciones separables. También sé que si $V$ no es independiente del tiempo, todo el esquema de separación de variables se desmorona. Mi pregunta es si las soluciones separables forman siempre una base completa, incluso para $V(x)$ ? Si es así, ¿cómo es la prueba?
Respuesta
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Este resultado se denomina teorema espectral . Para un espacio de Hilbert de dimensión finita $\mathscr H$ la afirmación es que dado cualquier autoadjunto $^\ddagger$ operador $H$ existe una base ortonormal $\{\hat e_i\}$ formado por los vectores propios de $H$ y que todos los valores propios correspondientes son reales.
La prueba de esta afirmación es la siguiente.
- Por el teorema fundamental del álgebra, $\mathrm{det}(H-\lambda \mathbb I)=0$ tiene al menos una solución, digamos, $\lambda_1$ . Esto implica que existe al menos un vector no nulo $\hat e_1$ (que normalizamos por comodidad) tal que $(H-\lambda_1 \mathbb I) \hat e_1 = 0 \iff H\hat e_1 = \lambda_1 \hat e_1.$
- Porque $H$ es autoadjunto, tenemos $$\lambda_1 = \langle \hat e_1,H\hat e_1\rangle = \langle H \hat e_1 ,\hat e_1 \rangle = \overline{\lambda_1} \implies \lambda_1\in \mathbb R$$
- Dejemos que $\{\hat e_1\}^\perp$ denotan el complemento ortogonal de $\hat e_1$ - es decir, el conjunto de todos los vectores $v\in\mathscr H$ tal que $\langle \hat e_1,v\rangle = 0$ . Porque $H$ es autoadjunto, tenemos que $$\langle \hat e_1,Hv\rangle = \langle H\hat e_1,v\rangle = \lambda_1 \langle \hat e_1,v\rangle = 0 \implies Hv \in \{\hat e_1\}^\perp$$ Decimos que $\{\hat e_1\}^\perp$ es invariante bajo la acción de $H$ . En consecuencia, si dejamos que $\hat e_1$ sea el primer elemento de nuestra base ortonormal, entonces $H$ tiene la forma $$H = \pmatrix{\lambda_1 & \matrix{0 &\cdots&0}\\\matrix{0\\\vdots\\ 0} & H'}$$ donde $H'$ es un $(n-1)\times (n-1)$ -matriz autoadjunta. Este proceso puede repetirse para $H'$ y así sucesivamente, obteniendo finalmente una matriz diagonal con entradas reales y la base de vectores propios reclamada.
Para un espacio de Hilbert de dimensiones infinitas $\mathcal H$ Esta situación se complica porque el espectro $\sigma$ de un operador arbitrario puede consistir en puntos discretos (llamados punto espectro, $\sigma_p$ ) así como un continuo (llamado continuo espectro, $\sigma_c$ ).
Si el espectro de $H$ es un punto puro (así que $\sigma_c = \emptyset$ ), entonces la prueba es similar en espíritu al caso de dimensión finita, pero hay tecnicismos que entran en juego si $H$ no está acotado; sin embargo, la conclusión es la misma, excepto por el hecho de que la base en cuestión no tiene un número finito de elementos. Si el espectro de $H$ contiene una parte continua, entonces incluso más surgen tecnicismos, y se requiere toda la maquinaria del análisis funcional; en física, esto corresponde operativamente a la aparición de no normalizable (o generalizado ), como los que aparecen para el Hamiltoniano de la partícula libre $H:= \frac{\hat P^2}{2m}$ .
$^\ddagger$ Es fácil demostrar que si $H\neq H^\dagger$ pero $[H,H^\dagger]=0$ entonces $H=A + i B$ donde $A,B$ son operadores autoadjuntos conmutables. Esto nos permite generalizar esta prueba a los llamados operadores normales y lo único que cambia es que el espectro de $H$ puede ser compleja.
