¿Cuándo, si acaso, una estadística mediana es suficiente?

Question

Me encontré con un comentario casual en El estadístico químico que la mediana de la muestra podría ser a menudo una opción para un estadístico suficiente pero, además del caso obvio de una o dos observaciones en las que es igual a la media de la muestra, no puedo pensar en otro caso no trivial e iid en el que la mediana de la muestra sea suficiente.

Answer 1

En el caso de que el soporte de la distribución no dependa del parámetro desconocido θ, podemos invocar la (Fréchet-Darmois-)Pitman-Koopman teorema, es decir, que la densidad de las observaciones es necesariamente de la forma de la familia exponencial, $$ \exp\{ \theta T(x) - \psi(\theta) \}h(x) $$ para concluir que, dado que la estadística natural suficiente $$ S=\sum_{i=1}^n T(x_i) $$ es también mínimo suficiente, entonces la mediana debe ser una función de $S$ y también al revés, lo que es imposible: modificar un extremo en las observaciones $x_1,\ldots,x_n$ , $n>2$ , modifica $S$ pero no modifica la mediana. Por lo tanto, la mediana no puede ser suficiente cuando $n>2$ .

En el caso alternativo en que el soporte de la distribución sí depende del parámetro desconocido $θ$ No estoy tan satisfecho con la siguiente prueba: en primer lugar, podemos considerar el caso simple cuando $$ f(x|\theta) = h(x) \mathbb{I}_{A_\theta}(x) \tau(\theta) $$ donde el conjunto $A_\theta$ indexado por $θ$ denota el soporte de $f(\cdot|\theta)$ . En ese caso, suponiendo que la mediana es suficiente, el teorema de la factorización implica que tenemos que $$ \prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i) $$ es un binario ( $0-1$ ) de la mediana de la muestra $$ \prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i) = \mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n})) $$ De hecho, no hay ningún término extra en la factorización ya que también debería ser (i) una función binaria de los datos y (ii) independiente de $\theta$ . Añadiendo una observación más $x_{n+1}$ cuyo valor es tal que no modifica la mediana de la muestra conduce entonces a una contradicción ya que puede estar dentro o fuera del conjunto de soporte, mientras que $$ \mathbb{I}_{B^{n+1}_\theta}(\text{med}(x_{1:n+1}))=\mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))\times \mathbb{I}_{A_\theta}(x_{n+1}) $$