He aquí un ejercicio de [Birkhoff y MacLane, Un estudio del álgebra moderna ]:
Dejemos que $\phi: G \rightarrow G'$ sea un isomorfismo entre dos grupos de permutaciones. Sea $S$ consiste en aquellas permutaciones de $G$ dejando una letra fija. ¿Su imagen $S'$ forman un subgrupo de $G'$ ? ¿Debe el conjunto $S'$ ¿dejar una carta arreglada? Ilustra.
Puedo demostrar que $S'$ forma un subgrupo de $G'$ . Me preguntaba si $S'$ debe dejar una carta fija. Creo que la respuesta es un "no" en general, y aquí hay una solución, aunque me gustaría conocer otros enfoques.
Podemos dejar que $G$ sea una incrustación de $S_3$ en $S_4$ y $G'$ una incrustación de $S_3$ en $S_6$ de la siguiente manera. $G:= \langle (a,b,c)(d), (a,b)(d) \rangle$ . Para definir $G'$ , dejemos que $r=(1,2,3,4,5,6),s=(2,6)(3,5)$ (se trata de la rotación y la reflexión habituales en las simetrías del hexágono regular). Tomemos $G' := \langle rs,r^2 \rangle = \langle (1,2)(3,6)(4,5),(1,3,5)(2,4,5)\rangle$ . Entonces $G'$ que es un subgrupo del grupo diédrico $D_{12}$ es isomorfo a $S_3$ (es una incrustación transitiva de $S_3$ en $S_6$ ). Así, $G \cong G'$ y un isomorfismo explícito viene dado por $\phi: (a,b) \mapsto rs, (a,b,c) \mapsto r^2$ .
Si dejamos que $S$ sea el estabilizador en $G$ de $d$ entonces $S$ es igual a todo $G$ desde $G$ sí se arregla $d$ . Y $S'$ es igual a todo $G'$ y por lo tanto no tiene puntos fijos. Esto da un ejemplo en el que $S$ fija un punto pero $S'$ no lo hace.
Si dejamos que $S$ sea el estabilizador en $G$ de $c$ entonces $S = \langle (a,b) \rangle$ y $S' = \langle rs \rangle = \langle (1,2)(3,6)(4,5) \rangle$ . Aquí también, $S$ fija un punto pero $S'$ no lo hace.
Por supuesto, si los dos grupos de permutación $G,G'$ son idénticos (lo que implica que sus grados son iguales), entonces la imagen de un estabilizador sería otro estabilizador.
