Conjugación estable para matrices enteras

Question

Dejemos que $F$ sea un campo, y $E$ un campo de extensión. Entonces dos matrices en $GL_n(F)$ son conjugados si y sólo si son conjugados en $GL_n(E)$ . Tengo curiosidad por saber si el hecho análogo es válido para los anillos de enteros.

¿Es cierto lo siguiente?

Dos matrices en $GL_n(\mathbb Z)$ son conjugados si y sólo si son conjugados en $GL_n(\mathbb A)$ , donde $\mathbb A$ es el anillo de enteros algebraicos.

Answer 1

Bueno, creo que la respuesta es "no". He aquí una construcción: sea R el anillo de enteros de un campo cuadrático real K de clase > 1, sea M un módulo R invertible de rango uno que no sea isomorfo a R, y sea x una unidad fundamental en R. Entonces la acción de x sobre M (visto como un módulo Z) determina una clase de conjugación bien definida C_M en GL_2(Z), y de forma similar la acción de x sobre R determina una clase de conjugación C_R. Afirmo que estas clases de conjugación son distintas, pero se hacen iguales en GL_2(A).

Son distintos: de hecho, M se recupera hasta el isomorfismo de C_M ya que R se identifica con el álgebra conmutada de x que actúa sobre el módulo Z M.

Se hacen iguales en GL_2(A): de hecho se hacen iguales en GL_2 del anillo de enteros en el campo de clase Hilbert de K, ya que M y R se hacen isomorfos allí.

Answer 2

He aquí una realización explícita del contraejemplo sugerido por Dustin. El campo ${\mathbf Q}(\sqrt{10})$ tiene el número de clase 2 y su campo de clase de Hilbert se obtiene adhiriendo $\sqrt{2}$ . El anillo de enteros ${\mathbf Z}[\sqrt{10}]$ tiene unidad (fundamental) $u:=3+\sqrt{10}$ cuyo polinomio mínimo sobre ${\mathbf Q}$ es $T^2 - 6T - 1$ . Las dos clases ideales en ${\mathbf Z}[\sqrt{10}]$ están representados por los ideales $(1)$ y $(2,\sqrt{10})$ que tienen ${\mathbf Z}$ -bases $\{1,u\}$ y $\{2,\sqrt{10}\}$ . Multiplicación por $u$ en estos dos ideales se representa, utilizando la indicada $\mathbf Z$ -por las respectivas matrices $A = (\begin{smallmatrix}0&1\\1&6\end{smallmatrix})$ y $B = (\begin{smallmatrix}3&5\\2&3\end{smallmatrix})$ . Estas matrices están en ${\rm GL}_2({\mathbf Z})$ no son conjugados en este grupo, pero sí lo son por la matriz $U = (\begin{smallmatrix}\sqrt{2}&5+3\sqrt{2}\\1&3+2\sqrt{2}\end{smallmatrix})$ que se encuentra en ${\rm GL}_2({\mathbf Z}[\sqrt{2}])$ . Es decir, $UAU^{-1} = B$ . Esta matriz conjugadora $U$ tiene un determinante $-1$ . Una matriz con determinante 1 y entradas enteras algebraicas que satisface $VAV^{-1} = B$ es $V = (\begin{smallmatrix}2\sqrt{2}&6\sqrt{2}+5\sqrt{3}\\\ \sqrt{3}&4\sqrt{2}+3\sqrt{3}\end{smallmatrix})$ .

En general, la matriz $M = (\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix})$ satisface $MA = BM$ si y sólo si $b=3a+5c$ y $d = 2a+3c$ y luego $\det M = 2a^2 - 5c^2$ . No podemos resolver $2a^2 - 5c^2 = \pm 1$ en ${\mathbf Z}$ (míralo mod 5), pero podemos resolverlo en ${\mathbf Z}[\sqrt{2}]$ utilizando $a = \sqrt{2}$ y $c = 1$ . Así es como encontré $U$ . Podemos resolver $2a^2 - 5c^2 = 1$ utilizando $a = 2\sqrt{2}$ y $c = \sqrt{3}$ Así es como encontré $V$ .