Continuando sobre esta es mi pregunta .
Mac Lane "Categories for the Working Mathematician" y "Abstract and Concrete Categories. The Joy of Cats" utilizan diferentes fundamentos de la teoría de conjuntos.
¿Cómo se pueden transferir teoremas entre estos dos sistemas diferentes? Es decir, si se demuestra un teorema en uno de estos dos sistemas, ¿qué se puede deducir en el otro?
Adrian Mathias ha escrito algunos artículos excelentes comparando la teoría de conjuntos específica utilizada por Mac Lane y la utilizada en otras partes de la teoría de categorías.
Su artículo La fuerza de la teoría de conjuntos de Mac Lane es un análisis detallado de la fuerza de la teoría de conjuntos de Mac Lane en comparación con otras teorías.
Adrian Mathias, "What is Mac Lane missing?" (un comentario sobre la postura fundacional de Saunders Mac Lane; MR 94g:03010 publicado con una respuesta de Mac Lane, MR 94g:03011 (en Set Theory of the Continuum, ed. H. Judah, W.Just, H.Woodin; Mathematical Sciences Research Institute Publications Volume 26, Springer-Verlag, 1992).
Véase también Adrian Mathias, " Declaraciones sólidas de análisis ."
Otros documentos disponibles en Depósito de la página web de Mathias .
No he mirado con mucho cuidado las suposiciones de La alegría de los gatos; se describen de una manera un poco tortuosa (se remite al lector al apéndice de Herrlich-Strecker, que no tengo a mano). Pero está bastante claro que una suposición de ZFC más dos inaccesibles fuertes, una conteniendo a la otra, es más que suficiente para los propósitos de La alegría de los gatos (tienen conjuntos contenidos en clases, y clases contenidas en "conglomerados", y tienen algunas suposiciones teóricas de conjuntos sobre los conglomerados, la más seria de las cuales es que un producto de conglomerados indexado sobre un conglomerado es un conglomerado).
Los fundamentos formales en Categorías para el Matemático Trabajador suponen: ZFC + una inaccesible.
Desde el punto de vista de un teórico de conjuntos profesional, creo que cualquiera de los dos conjuntos de suposiciones se consideraría bastante suave (al menos cuando se compara con grandes hipótesis cardinales ante las que un teórico de conjuntos no pestañearía), y la reacción de la mayoría de la gente sería no preocuparse demasiado por la diferencia. Sin haber repasado a fondo The Joy of Cats, debo pensar que cualquier teorema en él que no mencione la palabra "conglomerado" (que podría ser en ocasiones tácita pero no difícil de detectar, como en "la categoría de categorías de como máximo tamaño de clase") sería un teorema formal bajo los fundamentos declarados de Mac Lane, y también estoy bastante seguro de que Mac Lane (a quien llegué a conocer) no tendría ninguna dificultad en aceptar ZFC + dos inaccesibles fuertes para tratar el resto -- es sólo que él no necesitaba esa suposición para escribir su libro.
Sin tener una pregunta más específica que tratar, no estoy seguro de que se pueda hacer una afirmación general más positiva y con garantía de veracidad sobre un texto que tiene varios cientos de páginas.
Quizá le interese este documento (aunque necesita una revisión).
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