Invariancia del difeomorfismo del tensor de Ricci

Question

Puede que sea una pregunta muy simple, pero me gustaría tener una respuesta rápida sobre cómo podemos demostrar que el tensor de Ricci es invariante bajo un difeomorfismo. Para ser precisos, si $ \phi : M\to M$ es un difeomorfismo, quiero demostrar

$$ \text{Ric} (\phi^* g) = \phi^* \text{Ric} (g).$$

Answer 1

Esta pregunta también me molestó y más tarde encontré la solución, así que la escribo aquí. Se sabe por la geometría básica de Riemann que la curvatura se preserva por las isometrías. Así que si $\phi : (M,g) \to (\tilde{M}, \tilde{g})$ es una isometría, entonces $\phi^{*}R(\tilde{g}) = R(g)$ .

Pero en nuestro caso, $\phi$ es sólo un difeomorfismo. Pero es una isometría si se considera como un mapa $\phi: (M, \phi^{*}g) \to (M,g)$ .

Por lo tanto, utilizando la invariancia de isometría de la curvatura obtenemos que

$$ \phi^{*}\text{Ric}(g) = \text{Ric}(\phi^{*}g). $$