Este es un problema que doy a veces a mis alumnos de cálculo:
Dejemos que $\mathcal{Q}$ sea el plano definido por $x+2y+3z=6.$ Encuentre un avión $\mathcal{P}$ que cumple con $\mathcal{Q}$ en un ángulo de $\theta = \frac{\pi}{3}$ tal que $\mathcal{P},\mathcal{Q}$ se cruzan a lo largo de la línea $\langle 3,0,1 \rangle+t \langle -3,1,\frac{1}{3} \rangle.$ (Sugerencia: Escriba $\mathcal{P}$ como $ax+by+cz=6$ y utilizar las condiciones para resolver $a,b,c.$ )
La solución prevista: Sabemos que $\mathcal{P}$ contiene el punto $\langle 3,0,1\rangle$ y también $\langle 3,0,1 \rangle+t \langle -3,1,\frac{1}{3} \rangle$ para cualquier $t$ en particular para $t=1.$ Entonces tenemos: $$ \langle 3,0,1\rangle\cdot \langle a,b,c\rangle = 6,\qquad \langle 0,1,4/3\rangle\cdot \langle a,b,c\rangle = 6 $$ También conocemos el ángulo de intersección: $$ \frac{\langle a,b,c\rangle \cdot \langle 1,2,3 \rangle}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\;\sqrt{14}}=\cos(\pi/3)=\frac{1}{2} $$ Juntando todo esto, estamos resolviendo: $$ \begin{cases} 3a+c=6\\ b+\frac{4}{3}c = 6\\ \frac{a+2b+3c}{\sqrt{14(a^2+b^2+c^2)}}=\frac{1}{2} \end{cases} $$ Resolviendo las dos primeras ecuaciones para $a$ da $c=6-3a$ , $b=4a-2.$ Introduciendo esto en la tercera ecuación se obtiene: $$ 56=a^2+(4a-2)^2+(6-3a)^2 $$ Esto es sólo una ecuación cuadrática en $a.$ Al resolverlo se produce $$ \{a,b,c\}=\left\{1\mp\frac{\sqrt{273}}{13},2\mp\frac{4\sqrt{273}}{13},3\pm\frac{3\sqrt{273}}{13} \right\} $$
No es terrible, pero no es del todo sencillo. Me pregunto si hay una forma más sencilla de llegar a esta conclusión, quizá aprovechando los vectores normales de los planos.
