Boku No Hero ep 80 Integral

Question

Acabo de conseguir ponerme al día con un anime llamado Boku No hero, y para mi sorpresa mostraron un integral en el ep 80-81 creo. En el que el protagonista intentaba evaluarlo y conseguía $\frac{107}{12}$ pero la respuesta fue $\frac{107}{28}$ . Sólo tengo curiosidad por saber cómo evaluaría alguien esto? Así que la integral era

$$I =\int^{\log(1+\sqrt{2})}_0\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^3\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^{11}dx$$

Esto sería lo mismo que integrar $$I=\int^{\log(1+\sqrt{2})}_0\sinh^{14}xdx$$ Pero no estoy seguro de cómo seguir a partir de aquí. ¿Hay algún truco oculto que no haya visto?

Answer 1

Parece que hay muchas erratas en esta adaptación del manga al anime. En el capítulo 167 del manga (tanto en la traducción inglesa como en la china), el protagonista y sus compañeros de clase tienen que evaluar la integral de abajo:

(imagen extraída de reahheroacademia.com )

Como se puede ver, en el segundo factor del integrando, hay un "+" en lugar de un "-" entre los dos exponenciales. La integral correcta a evaluar es

$$\mathcal{I} = \int_0^{\log(1+\sqrt{2})} \sinh^3 x\cosh^{11} x dx$$

Si uno amplía la imagen de arriba, se dará cuenta de que el color de la pizarra no es un gris sólido. Se trata de un patrón obtenido mediante la dispersión de puntos blancos sobre el fondo negro. Es difícil reconocer el "-" en esos $e^{-x}$ aparecen en el integrando. Esto puede explicar por qué en el anime, es erróneamente para ser $\hat{e}^x$ .

Finalmente en el manga, a diferencia de los números $\frac{107}{12}$ y $\frac{107}{24}$ citado en cuestión, el protagonista ha evaluado la integralidad para $\frac{107}{14}$ y la respuesta correcta en el manga $\frac{107}{28}$ es la correcta en el mundo real.

Volvamos a las matemáticas y cambiemos la variable a $u = \sinh(x)^2$ .

Cuando $x$ cambios de $0$ a $\log(1+\sqrt{2})$ , $u$ aumenta de $0$ monótonamente a $1$ . Desde $\cosh^2x = \sinh^2x + 1$ y $\frac{du}{dx} = 2\sinh x\cosh x$ podemos evaluar la integral como

$$\begin{align} \mathcal{I} &= \frac12\int_0^{\log(1+\sqrt{2})} (\sinh^2 x)(\cosh^2 x)^5 (2\sinh x\cosh x)dx\\ &= \frac12\int_0^1 u (u+1)^5 du\\ &= \frac12\int_0^1 (u+1)^6 - (u+1)^5 du\\ &= \frac12\left[\frac{(u+1)^7}{7}-\frac{(u+1)^6}{6}\right]_0^1\\ &= \frac12\left[\frac{128-1}{7} - \frac{64-1}{6}\right]\\ &= \frac{107}{28}\end{align}$$