¿Por qué es que $\det(\phi-x\text{id})=\sum_{i=0}^n (-1)^ic_ix^i$?

Question

Estoy tratando de entender una fórmula específica para el determinante en un entorno más general.

Supongamos que tienes un módulo libre $M$ de rango $n$ sobre un anillo (conmutativo) $R$. Sea $\phi\in\operatorname{End}(M)$, el $R$-módulo de endomorfismos de $M$, y denotemos por $c_i$ la traza de $\phi$ en el álgebra exterior $\Lambda^i M$ (también conocida como álgebra alternante, álgebra de Grassman).

¿Cómo es que $$ \det(\phi-x\text{id})=\sum_{i=0}^n (-1)^ic_ix^i? $$

Esto parece que se seguiría fácilmente por inducción, pero a menos que me esté perdiendo algo obvio, no veo cómo encaja la traza. ¿Alguien puede explicar por qué esta identidad polinómica es cierta? Muchas gracias.

Answer 1

Si $M$ es un módulo sobre $R$, cualquier endomorfismo $\phi:M\to M$ induce un endomorfismo $\Lambda^r \phi:\Lambda^rM\to \Lambda^rM.
Si $M$ es libre con base $e_1,...,e_n$, entonces $\phi $ tiene una matriz $A=(a_{ij})$ en esta base.
El módulo $ \Lambda^rM$ también es libre, con base $(e_H)_{H\in\mathcal H}$ donde $\mathcal H$ es el conjunto de secuencias estrictamente crecientes $H=(1\leq i_1\lt ...\lt i_r\leq n)$ y $e_H=e_{i_1}\wedge ...\wedge e_{i_r}.

El punto clave es que con respecto a esta base el mapeo lineal $\Lambda^r \phi$ tiene una matriz $\Lambda^r A=B= (b_{H,K}) y que las entradas $b_{H,K}$ se pueden calcular:
el resultado es $b_{H,K}=\operatorname { det } (A_{H,K})$, el menor obtenido extrayendo de $A$ las líneas numeradas por $H$ y las columnas numeradas por $K.
Por lo tanto, tenemos la fórmula en el corazón de la respuesta a tu pregunta $$\operatorname { Tr }(\Lambda^r \phi) =\sum_H b_{H,H}=\sum_H \operatorname { det }(A_{H,H})$$ De esto se desprende la fórmula requerida para el polinomio característico de $\phi$ $$ \chi_\phi(X)= \operatorname { det } ( X\cdot 1_n-A)=\sum_{r=0}^n (-1)^r (\sum_H \operatorname { det }(A_{H,H}))X^{n-r} =\sum_{r=0}^n (-1)^r \operatorname { Tr }(\Lambda ^r\phi) X^{n-r} $$

Observación
La fórmula $b_{H,K}=det (A_{H,K})$ que da la matriz del producto exterior de un endomorfismo es muy útil, en el estudio de las incrustaciones de Plücker y los Grassmannianos por ejemplo, y es una versión moderna de la venerable expansión de Laplace de determinantes.
En mi opinión, es subestimada y la noción misma de la potencia exterior $\Lambda^r A$ de una matriz $ A$ rara vez se menciona.
[Curiosamente, parece que la noción de producto tensorial de matrices, también conocido como producto de Kronecker, ha vuelto a ser popular gracias a la computación cuántica y la información cuántica]

Answer 2

Este asunto de trabajar sobre un anillo conmutativo $R$ es una distracción. En última instancia, esto es un conjunto de $n$ identidades polinómicas en $n^2$ variables $x_{ij}$ sobre los enteros; es decir, basta con probar esta identidad sobre $\mathbb{Z}[x_{ij}]$ como una igualdad de polinomios enteros. Pero dos polinomios enteros son iguales abstractamente si y solo si son iguales, digamos, cuando los $x_{ij}$ se establecen en números complejos arbitrarios. Por lo tanto, en realidad basta con probar la identidad sobre un campo algebraicamente cerrado específico de característica cero, como $\mathbb{C}$ para probarlo en general.

En este punto, puedes tomar cualquier demostración que funcione sobre $\mathbb{C}$. Aquí tienes una:

• La identidad es obvia para las matrices diagonales. Dado que la identidad es invariante por conjugación, se sigue para todas las matrices diagonalizables.
• Las matrices diagonalizables son densas y los polinomios son continuos (alternativamente: las matrices diagonalizables son Zariski-densas y los polinomios son Zariski-continuos), por lo que la identidad es verdadera para todas las matrices.

Sin embargo, no solo pediste una prueba, sino que pediste una explicación. Abordé esta pregunta en otra respuesta en math.SE. En resumen, se puede pensar en el lado derecho de tu identidad como la "traza," en un sentido apropiado, de la acción de una transformación lineal en el álgebra exterior, y luego el resultado sigue para matrices diagonalizables por una observación sobre cómo se comporta el funtor del álgebra exterior en sumas directas.