Si la medida de un conjunto es cero, la integral sobre el conjunto es cero y la función es cero a.e?

Question

Nota: Este muro de texto es excesivo y probablemente no sea demasiado representativo de la pregunta del título. Te recomiendo que simplemente pases a la edición 4, y luego veas las respuestas a continuación.

Consideremos la integral $\int_A fd\mu = \int 1_A(x)f(x)d\mu (x), A\in \mathscr{B}$ (se trata de conjuntos de Borel).

Si $\mu (A) = 0$ entonces la integral es cero, y por lo tanto el integrando es cero (como se menciona en muchos otros temas aquí en stack exchange, como Este tema ).

Lo que no entiendo es cómo $\mu(A) = 0$ implica que el integrando es cero. Creo que implica que la integral es cero, ya que $\int 1_A (x) f(x) d\mu (x)$ sólo $f \mu (A)$ = 0$, ¿correcto? Pero no veo cómo el integrando debe ser cero.

De hecho, incluso en el hilo que he enlazado, parece que basta con demostrar que si $\mu =0$ o $\int_A fd\mu =0 $ entonces $f=0$ pero no entiendo cómo esos conducen a $f=0$ ...

Edición: tal vez sea algo así como $f = 1_A (x) f(x)$ que puede ser cualquier cosa donde $\mu =0$ y para que $\int 1_A(x)f(x)d\mu (x) =0 $ (implícito en $\int_A f d\mu = 0$ y $\int_A f d\mu = \int 1_A(x)f(x)d\mu (x)$ ) entonces $1_A(x)f(x) = 0$ a.e., y quizás $1_A(x)f(x) = f(x)$ ¿de alguna manera?

Edición 2: Supongo que esto es lo que me pregunto: en el problema $\int_A fd\mu$ es el integrando $f$ o es $f$ en el dominio A . Para los que no lo entiendan, aquí está el porqué de la importancia: si el integrando es $f$ en el dominio $A$ entonces sabemos que $f$ en el dominio $A$ es $1_A(x) f(x)$ . Pero $A$ tiene medida cero ya que $\mu(A) = 0$ y $1_A(x)f(x) = 0$ en todas partes fuera de A (porque la función indicadora es cero), por lo que podemos decir que el integrando $f$ es cero A.E. (ya que A.E. significa que excluimos (no consideramos) el conjunto A ya que tiene medida cero)

EDIT 3: Haré la edición anterior (#2) como una pregunta separada y enlazaré la respuesta aquí, espero.

EDITAR 4: (Espero que sea definitivo) Así que creo que he hecho una pregunta diferente a la que tenía en mente (pero que me ha salido mejor), y quizás diferente a la que he esbozado en la masa de texto anterior. esto es lo que pide el título: Si $\mu (A) =0$ y $\int f d\mu = 0$ entonces $f=0$ a.e. El razonamiento es el que ambos exponen a continuación, aunque de forma breve. Si la medida de un conjunto que no es A no es cero, entonces el integrando $f$ debe ser cero (para que la integral sea cero). Cualquiera que sea $f$ está en A, sin embargo, no nos importa, ya que estamos diciendo que la función es cero A.E.

Answer 1

La implicación es sólo que el integrando es cero casi en todas partes es decir, en todas partes pero en un conjunto de $\mu$ medida cero. Por lo tanto, no se obtiene ninguna información sobre los valores de $f$ en $A$ porque $A$ tiene medida cero.

Según tu edición 2 hay dos puntos de vista, o bien consideras la función $f$ como su integrando en el dominio $A$ o considera la función $f 1_A$ como su integrando en todo el espacio. En cualquiera de los casos se puede deducir que el integrando es $0$ casi en todas partes. En el primer caso esto implica que $f$ es cero en casi todas partes en $A$ (que no tiene sentido porque $A$ tiene medida cero) y en el segundo caso $f 1_A$ es cero en casi todo el espacio, lo cual es obvio porque $1_A$ es cero en $A^c$ y de nuevo no te importan los valores de $A$ .

Answer 2

La integral es cero si el integrando es cero a.e. Si $\mu(A) = 0$ entonces $\mu(1_A\cdot f \neq 0) = 0$ para cualquier $f$ .