Esto es lo que quieres para un espacio-tiempo:
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Hausdorff (para que tengas la unicidad de los límites de las secuencias y de las funciones con valores en tu colector), paracompacto (para que puedas tener una partición de la unidad, sin la cual gran parte del análisis global será imposible).
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Localmente homeomorfo a ${\mathbb R}^n$ (la mayoría de las veces, $n=4$ ). Sin embargo, en realidad, necesitará más, véase la parte 4 más adelante. La parte 2 implicará la 1ª contable.
1 + 2 implican metrizable, que es más fuerte que normal y esta última es más fuerte que regular. A la inversa, todo espacio metrizable que es localmente homeomorfo a ${\mathbb R}^n$ es paracompacto y Hausdorff.
- Frecuentemente, querrás que tu espacio-tiempo esté conectado (lo mismo que el camino conectado, sujeto a la suposición 2). La mayoría de las veces, usted no lo hará quieren asumir la compacidad. La compacidad excluiría ejemplos tan básicos como ${\mathbb R}^{3,1}$ y los productos de un colector tridimensional con ${\mathbb R}$ .
1+2+3 implicará 2ª contable y separable. A veces, conectada es demasiado, se querría como máximo un número contable de componentes conectadas. (Conectado significa exactamente un componente conectado). 1+2+2º contable implicará paracompacto con a lo sumo un número contable de componentes conectados.
Esto se encarga de casi todo en su lista, excepto de la "métrica". Métrica (en topología) significa una "función de distancia" $d(\cdot, \cdot)$ coherente con la topología:
$\lim_{i\to\infty} p_i=p$ para una secuencia en su colector si y sólo si $\lim_{i\to\infty} d(p_i,p)=0$ .
La mayoría de las veces, no se quiere fijar dicha función de distancia por adelantado, sólo se quiere saber que existe (lo que significa que es "metrizable").
Definición. A colector topológico es un espacio topológico que satisface 1 y 2 (alguna forma de 3 es opcional, para algunos argumentos, se quiere 2ª contable, para otros argumentos, paracompacto es suficiente). Personalmente, prefiero asumir la 2ª contable.
- Sin embargo, esto no es todo: quieres ser capaz de "hacer geometría y análisis" en tu colector, lo que significa que quieres algo más que un colector topológico definido anteriormente. En la RG se quiere poder hablar de una lorentziana (firma $(n-1,1)$ ) (¡no una función de distancia!) en su colector. Para ello, tienes que exigir que tu colector tenga una estructura suave (un atlas con mapas de transición suaves). Puedes pensar en dicha estructura como un refuerzo del punto 2 anterior. Un colector topológico junto con una estructura suave elegida se denomina colector liso. Esto es lo que realmente quieres para tu espacio-tiempo.
Observación. También se quiere tener una estructura suave si se hace QFT: se quiere poder trabajar con haces, conexiones, curvatura, etc., lo que requerirá cierto grado de suavidad.
No todas las variedades lisas admiten una métrica lorentziana (por ejemplo, la esfera de 4 dimensiones no la admite). La condición necesaria y suficiente para la existencia de una métrica lorentziana en una variedad lisa $M$ es:
Cada componente de $M$ no es compacto o tiene característica de Euler nula.
Ahora, uno puede definir un espaciotiempo (clásico) como:
Una variedad suave de 4 dimensiones $M$ dotado de una métrica lorentziana (es decir, una métrica semirriemanniana de signo $(3,1)$ ).
Ya que no le importa una respuesta redundante: Cada uno de estos $M$ será Hausdorff, regular, normal, metrizable, separable, 1º contable, paracompacto, 2º contable, tendrá a lo sumo un número contable de componentes conectados (camino). Sin embargo, en general, no será ni conectada ni compacta.
