¿Es cierto que $\frac{E[(|X - E[X]|)(|Y - E[Y]|)]}{\sigma_X \sigma_Y} = 1$ ?

Question

Consideremos el hecho bien conocido de que la correlación está acotada entre $-1$ y $1$ :

$$ -1 \le \text{corr}(X,Y) = \frac{E[(X - E[X])(Y - E[Y])]}{\sigma_X \sigma_Y} \le 1. $$

He tratado de intuir por qué esto es así.

Pregunta: ¿Es porque (o es cierto que)

$$ \frac{E[(|X - E[X]|)(|Y - E[Y]|)]}{\sigma_X \sigma_Y} = 1? $$

(Nótese los signos de valor absoluto en el numerador).

Ejemplo: Observo que esto es cierto en el caso $X$ iban a tomar valores $\{1, 3\}$ y $Y$ iban a tomar valores $\{2, 6\}$ en una distribución uniforme. Es decir:

$$ \frac{\frac{(1-2) + (3-2)}{2} \cdot \frac{(2-4)+(6-4)}{2}}{1 \cdot 2} = \frac{0 }{2} = 0 $$

Sin embargo,

$$ \frac{\frac{|(1-2)| + |(3-2)|}{2} \cdot \frac{|(2-4)|+|(6-4)|}{2}}{1 \cdot 2} = 1. $$

Entonces, ¿es cierto en general? Si es así, esto haría entender por qué la correlación está limitada entre $-1$ y $1$ bastante fácil para mi mente de envolver.

EDITAR: El reclamo también parece funcionar en la uniformidad $\{1,5\}$ y $\{1,7\}$ :

$$ \frac{\frac{(1-3) + (5-3)}{2} \cdot \frac{(1-4)+(7-4)}{2}}{2 \cdot 3} = \frac{0 \cdot 0}{6} = 0 $$

Sin embargo,

$$ \frac{\frac{|(1-3)| + |(5-3)|}{2} \cdot \frac{|(1-4)|+|(7-4)|}{2}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3}{6} = 1. $$

Answer 1

La razón por la que el corr $(X,Y)$ está entre -1 y 1 se debe a Cauchy-Schwarz En igualdad que dice $$Var(Y) \geq \dfrac{Cov(X,Y)^2}{Var(X)}. $$

Puedes encontrar la prueba en la página wiki. Además, tu afirmación es en general falsa, pero para tu sencillo ejemplo resulta ser cierta.

Según su definición $X$ y $Y$ son independientes, por lo que $E\left[|X - E(X)||Y - E(Y)| \right] = E\left[|X - E(X)|\right] E\left[|Y - E(Y)| \right]$

Para que esto sea igual a $\sigma_x\sigma_y$ , $\sigma_x = E\left[|X - E(X)|\right]$ y $\sigma_y = E\left[|Y - E(Y)|\right]$ . Esto no es cierto en general, ya que $$E[|X - E[X]|]^2 \ne E[|X - E[X]|^2].$$

Creo que en tus ejemplos funciona porque tienes 2 valores que puede tomar cada variable. Prueba a ampliar a $X = \{1,3, 4\}$ y no obtendrá el mismo resultado.