¿Demostrar si una proposición de predicado es válida bajo todas las interpretaciones?

Question

Es la frase:

$(xQ(x)xR(x)) x(Q(x)R(x))$

¿es válido?

(Donde $Q(x)$ y $R(x)$ son predicados y $x$ es el conjunto de los números reales)

Si es así, explique por qué. Si no lo es, da una interpretación bajo la cual es falsa.

¿Cómo puedo saber qué interpretaciones podrían ser falsas para esta frase?

Answer 1

Supongamos que su dominio de interpretación es el conjunto $\mathbb{R}$ de reales. Ahora, interpreta $Q(x)$ como " $x \geq 0$ ", y $R(x)$ como " $x < 0$ ". ¿Qué se puede concluir?

Claramente, $\exists x Q(x) \land \exists xR(x) \,$ es verdadero bajo esta interpretación, porque existe un número real no negativo (por ejemplo $1$ ) y existe un número real negativo (por ejemplo $-1$ ).

Al contrario, $\exists x (Q(x) \land R(x)) \,$ es falso bajo la interpretación anterior, porque no hay ningún número real que sea al mismo tiempo no negativo y negativo.

Por lo tanto, la sentencia $(\exists x Q(x) \land \exists x R(x)) \to \exists x (Q(x) \land R(x)) \,$ es falso bajo la interpretación anterior, ya que el antecedente (es decir, el lado izquierdo) de la implicación es verdadero pero el consecuente (es decir, el lado derecho) es falso.

Answer 2

Interpretar $Q(x)$ como ' $x$ es positivo" y $R(x)$ como ' $x$ es negativo