¿Son las teorías de cohomología generalizada una categoría de homotopía de alguna categoría de invariantes?

Question

Me enseñaron a pensar en las teorías de cohomología generalizada como la categoría de homotopía de los espectros (simétricos). Pero, ¿existe también una categoría de "invariantes", es decir, alguna categoría de funtores contravariantes desde una categoría adecuada de espacios topológicos a una categoría adecuada de objetos algebraicos, que tenga una estructura de categoría modelo tal que la categoría de homotopía dé la categoría de teorías de cohomología generalizada, sin referirse a los espectros?

Si existe tal cosa, ¿por qué la gente prefiere utilizar los espectros?

Answer 1

He aquí un breve argumento de por qué no esperamos que las teorías de cohomología generalizada se comporten tan bien.

En la categoría de homotopía estable, existe una teoría de homología/cohomología generalizada representada por el espectro de la esfera $S$ para que $S_*(X)$ son los grupos homotópicos estables de $X$ . Tiene un auto-mapa de multiplicación por 2 $f$ y podemos utilizar la estructura triangulada para encontrar un triángulo exacto $S \stackrel{f}{\to} S \to M \to S[1]$ donde $S[1]$ es la suspensión (o lo que es lo mismo, el desplazamiento) de $S$ . Pensamos en $M$ como "la esfera mod 2", y se denomina espectro de Moore mod-2.

En la mayoría de las categorías derivadas procedentes del álgebra, dicho triángulo exacto tendría la propiedad de que el mapa de multiplicación por 2 en $M$ era cero. Sin embargo, sabemos que éste no es el caso; el mapa de multiplicación por 2 no es cero, pero el mapa de multiplicación por 4 sí lo es.

Uno de los problemas de utilizar un lenguaje "functor" para llegar a las teorías de cohomología generalizada es que dada una transformación natural $E \to F$ de las teorías de cohomología generalizada, no está claro cuál debe ser la cofibra asociada para producir una estructura triangulada. Los espectros tienen una estructura triangulada natural y rectifican este problema. (Un mapa entre espectros también incluye datos "fantasma" que no se detectan fácilmente por la transformación natural entre las teorías de cohomología generalizada asociadas).

Answer 2

Una razón aún más convincente es que las transformaciones naturales estables entre las teorías de cohomología generalizada sobre espacios forman una categoría errónea, es decir, no son los mismos que los morfismos de la categoría estable. Sea $E,F$ sean teorías cohomológicas generalizadas. Sea $Z_n$ sean los términos de la $\Omega$ -espectro de un modelo de CW de $E$ . Entonces, más o menos por definición, las transformaciones naturales estables de $E$ a $F$ son el límite inverso de $F^nZ_n=F^0\Sigma^{\infty-n}Z_n$ . Este es el conjunto Hom correcto en la categoría de homotopía estable cuando $\lim^1=0$ pero puede no ser el caso (por ejemplo, cuando $E=S$ , $F$ es la cuña de $\Sigma^n HZ/2$ en $n\in \mathbb{Z}$ ).