$A \subset X$ no es denso en ninguna parte $X$ IFF cada conjunto abierto no vacío en $X$ contiene una bola abierta cuya clausura es disjunta de $A$ .

Question

Quiero demostrar que: un subconjunto $A$ de un espacio métrico $X$ no es denso en ninguna parte $X$ IFF cada conjunto abierto no vacío en $X$ contiene una bola abierta cuya clausura es disjunta de $A$ .

Este es un lema que se utiliza en la teoría de categorías de Baire.

Definiciones:

• $A \subset X$ no es denso en ninguna parte si $\text{int}\left(\bar{A}\right) = \emptyset$ .
• Un espacio topológico se llama $T_1$ si para cada par $a$ , $b$ de puntos distintos de $X$ hay un conjunto abierto $U$ y $V$ en $X$ tal que $a \in U, a \not \in V, b \not \in U$ y $b \in V$ .
• Un espacio topológico se llama regular si es un $T_1$ y para cada subconjunto cerrado $C$ y cada punto $a$ no en $C$ existen conjuntos abiertos disjuntos $U$ y $V$ en $X$ tal que $a \in U$ y $C \subset V$ .

Mi prueba hasta ahora:

$\Rightarrow: $

Supongamos que $A \subset X$ no es denso en ninguna parte. Si $X$ está vacía, entonces la afirmación se cumple trivialmente. Por lo tanto, supongamos que $X$ no está vacío. Si $\bar{A} = X$ entonces $\text{int}\left( \bar{A} \right) = X \not = \emptyset$ lo que contradice la suposición de que $A$ no es denso en ninguna parte. Así que tenemos que $\bar{A} \not = X$ . Por lo tanto, existe un $a$ no en $\bar{A}$ . Como todo espacio métrico es regular y $\bar{A}$ es cerrada obtenemos una bola abierta $B_a(r)$ tal que $B_a(r)$ y $\bar{A}$ son disjuntos. Pero entonces también $B_a(r)$ y $A$ son disjuntos. Ahora observamos que $\overline{B_a(r/2)} \subset B_a(r)$ . Así que encontramos que $\overline{B_a(r/2)}$ es disjunta de $A$ .

La otra dirección no la tengo del todo. He hecho un comienzo.

$\Leftarrow: $

Supongamos que cada conjunto abierto no vacío en $X$ contiene una bola abierta cuya clausura es disjunta de $A$ . Y para que haya una contradicción supongamos que $A$ no es denso en ninguna parte. Entonces $\text{int}\left( \bar{A} \right) \not = \emptyset$ . Así que por la suposición de que existe una bola abierta $B$ con ${B} \subset \text{int}\left( \bar{A} \right)$ y $\overline{B} \cap A = \emptyset$ . (Aquí estoy atascado)

Me parece que podemos derivar una contradicción, pero no sé cómo.

Me gustaría tener ayuda con eso y también recibir comentarios sobre el resto de mi prueba.

Answer 1

Escribe $B=B(x,r)$ desde $B\subset \bar A$ existe una secuencia $x_n$ en $A$ que converge hacia $x$ esto implica por definición que existe $N$ tal que $n>N$ implica que $x_n\in B$ . Contradicción desde $B\cap A\subset \bar B\cap A$ está vacía.