¿Se puede reforzar la Ley del Logaritmo Iterado?

Question

http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_the_iterated_logarithm

. $\quad$ 1. ¿Puede debilitarse el supuesto de independencia, de forma similar a este ?

. $\quad$ 2. ¿Puede abandonarse/debilitarse el supuesto de distribución idéntica, en este último caso similar a este ?

. $\quad$ 3. ¿Se puede afinar el resultado, presumiblemente a algo de la forma

$\displaystyle\limsup_{n\to \infty} \frac{\frac{S_n}{\sqrt{2\cdot n\cdot \operatorname{log}(\operatorname{log}(n))}}-1}{f(n)} \; \; $ algún_símbolo_de_relación $\;$ alguna_constante $\qquad$ casi seguramente $\qquad \; \; $ ?

Answer 1

Para su tercera pregunta, vea un papel de Erdös donde demuestra un resultado aún más preciso (al menos, en el caso especial $S_n=\sum_{i=1}^nY_i$ donde $Y_i$ (independientes) son $\pm 1$ con probabilidad $\frac 12$ ), es decir, que para $\delta>0$ se cumple lo siguiente con probabilidad uno: $$S_n>\left(\frac{2n}{\log\log n}\right)^{1/2}(\log\log n+\frac 34\log\log\log n+\frac 12\log\log\log\log n+\cdots+(\frac 12-\delta)\log^{(k)}n)\qquad\text{for infinitely many $ n $}$$ y $$S_n>\left(\frac{2n}{\log\log n}\right)^{1/2}(\log\log n+\frac 34\log\log\log n+\frac 12\log\log\log\log n+\cdots+(\frac 12+\delta)\log^{(k)}n)\qquad\text{for only finitely many $ n $}$$ En particular, esto implica que: $$\limsup_{n\to \infty} \frac{\frac{S_n}{\sqrt{2n\log\log n}}-1}{\frac{\log\log\log n}{\log\log n}}=\frac 34$$

Answer 2

Para su primera pregunta. Sí. Véase, por ejemplo, "Note on the law of the iterated logarithm for stationary processes satisfying mixing conditions" de H. Oodaira y K. Yoshihara en Kodai Math. Sem. Rep. Volumen 23, Número 3 (1971), 335-342..

Para los procesos de mezcla fuerte se demostró en M. Kh. Reznik, "La ley del logaritmo iterado para algunas clases de procesos estacionarios", Teor. Veroyatnost. i Primenen., 13:4 (1968), 642-656.