Diferencia entre números irracionales con y sin patrón.

Question

No sé cómo hablar de lo que quiero hablar, así que daré algunos ejemplos.

El número $\pi$ es irracional y no tiene ningún patrón de repetición, pero se puede calcular con una regla fácil: dividir la circunferencia de un círculo por su diámetro.

Ahora considere el número $\sum_{i=1}^{\infty}10^{-(i!)}.$ Esto tiene un patrón, y por definición generado por una regla definida. Pero el número sigue siendo irracional.

Mi pregunta es, ¿existe un concepto matemático similar, pero más general que la racionalidad, que diferencie entre estos diferentes tipos de números?

Answer 1

Los dos primeros números son ejemplos de números computables. A número computable se define, más o menos, como un número $x$ tal que existe un programa informático (determinista) que escupe los dígitos de $x$ en secuencia. Por ejemplo, hay un programa de ordenador que produce "3", luego "1", luego "4", y así sucesivamente para todos los dígitos decimales de $\pi$ en secuencia. Aunque hay un número incontable de números reales, sólo hay un número contable de números computables porque sólo hay un número contable de programas de ordenador, así que en cierto sentido "la mayoría" de los números no son computables.

El tercer "número" se llamaría variable aleatoria. En este ejemplo, es computable con probabilidad cero.

Answer 2

Puede que estés pensando en números construibles, no estoy seguro.

En cualquier caso, el tercer "número" que consideras no es realmente un número. Describes ahí una variable aleatoria. Y la afirmación de que es un número irracional es incorrecta. En primer lugar, no es un número en absoluto, pero incluso usando una interpretación más liberal es ciertamente posible que todos los dígitos sean elegidos para ser, digamos, $9$ en cuyo caso el número elegido es precisamente igual a $1$ un número perfectamente racional.

Puede que estés intentando distinguir entre los números racionales cuyas expansiones decimales muestran algún patrón que puede ser descrito finitamente frente a los que no. Así que tendrás que ser más preciso sobre los patrones que estás considerando.