Problema estadístico: ¿cuántos libros de diferentes anchos caben en un yo de una anchura limitada?

Question

Supongamos que tengo N conjuntos de libros, siendo el tamaño de los libros de un conjunto el mismo. La cardinalidad de cada conjunto es diferente: puedo tener 3 libros de ancho 5 unidades (primer conjunto), 6 libros de ancho 10 (segundo conjunto), ...., 2 libros de ancho 20 (enésimo conjunto), y el ancho de la estantería W es igual a 100.

¿Cuál es la función de densidad de probabilidad del número de libros que caben en la estantería de anchura W, si elijo los libros secuencialmente y al azar? Una vez que se elige un libro y se almacena en la estantería, hay un reemplazo: un libro de la misma anchura está disponible de nuevo para ser elegido y almacenado en la estantería en el siguiente ensayo (así que básicamente los diferentes valores de cardinalidad de los conjuntos determinan la probabilidad de elegir un libro con un determinado tamaño).

¿Qué he probado?

• Podría describir el almacenamiento de un libro elegido al azar con su función generadora de momentos. Para el caso particular descrito: $f(z)= 3\cdot z^5+6\cdot z^{10}+...+2 \cdot z^{20}$
• Con un solo libro, el número de formas de guardar SOLO un libro (a no más) en la estantería con W=100 es igual a cero ( $0 \cdot z^{100}$ ).
• Si elijo k libros al azar, el número de formas de almacenar SÓLO estos k libros (y no más) en la estantería con ancho W=100 es igual al coeficiente del término $z^{100}$ en $(f(z))^k$ .
• Por ejemplo, con 5 libros, sólo hay una combinación que sume 100 (5 libros de ancho 20, el coeficiente de $z^{100}$ en $(f(z))^5$ .
• A partir de esto, se genera de alguna manera una función de densidad de probabilidad discreta con las diferentes combinaciones posibles (probabilidad de tener sólo 5 libros como el número de combinaciones con 5 libros(=1)/número de combinaciones totales, probabilidad de tener 6 libros como el número de combinaciones con 6 libros/número de combinaciones totales,....). El número total de combinaciones es igual a $number \ combinations \ with \ 5 \ books(=1)+number \ of combinations \ with \ 6 \ books+....+number \ of \ combinations \ with \ 100/5(minimum \ width)(=1)$ .

Entonces, ¿estoy en el camino correcto?

Gracias

Edición: había un pequeño error en el ejemplo dado. Lo siento.

2#edición: Creo que hay un error en la expresión para $f(z)$ . En el caso de que tengamos libros de 5, 10, 15 y 20, la función generadora $f(z)$ vendría dado por $f(z)=1 \cdot z^5+2 \cdot z^{10} + 4 \cdot z^{15}+8 z^{20}$ .

Answer 1

Nota: He hecho correcciones al cálculo aquí.

¿Está usted en el camino correcto? Casi.

Para asegurarme de que he interpretado el planteamiento del problema como realmente pretendes, asumo que hay $n$ tipos de libros, que los libros de tipo $i$ tienen cierta probabilidad $p_i$ de ser seleccionado, y que los libros de tipo $i$ tienen algo de anchura $w_i$ . (En su ejemplo, $p_1$ sería $3$ sobre el número total de libros, y $w_1$ sería 5, etc.) Su pregunta se refiere a la probabilidad de que $k$ Los libros seleccionados tienen una anchura total de $w$ Llamemos a esta probabilidad $p_{k,w}$ . La función generadora ordinaria para las anchuras de una única selección de libros es $\sum_i p_ix^{w_i}$ . Las selecciones repetidas corresponden a la multiplicación de las funciones generadoras. Así que, como usted señaló, $p_{k,w}=[x^w](\sum_ip_ix^{w_i})^k$ o, por el contrario $$g_k(x)\stackrel{\rm def}=\sum_{w\ge0} p_{k,w}x^w=\bigl(\sum_{i=1}^np_ix^{w_i}\bigr)^k.$$ Algunas personas considerarían que la función generadora $g_k$ equivalente a una función de densidad de probabilidad. Sin embargo, si desea una única función generadora tanto para el número de libros seleccionados como para su anchura, debe considerar una función generadora como $h(x,y)=\sum_{k,w}p_{k,w}x^wy^k$ . Mediante la agrupación, $h(x,y)=\sum_k(\sum_ip_ix^{w_i})^ky^k$ que es una serie geométrica, por lo que la función generadora deseada de dos variables es $$\sum_{k,w}p_{k,w}x^wy^k=\frac1{1-y\sum_{i}p_ix^{w_i}}.$$