¿Cómo se define una medida de Borel en un espacio euclidiano?

Question

¿Cómo se define una medida de Borel en un espacio euclidiano?

Me refiero a la medida de Borel sobre el álgebra sigma de Borel generada por la topología habitual sobre un espacio euclidiano, que coincide con la definición normal de volumen de subconjuntos en el espacio euclidiano.

Para la medida de Lebesgue en un espacio euclidiano, se define en términos de la medida exterior en el conjunto de potencias del espacio euclidiano.

Si la medida de Borel puede definirse independientemente de la medida de Lebesgue, entonces la medida de Lebesgue puede definirse en términos de la medida de Borel por finalización de la medida. ¿No es así?

Gracias y saludos.

Answer 1

El Borel $\sigma$ -álgebra en $\mathbb{R}$ está generado por el anillo de uniones finitas disjuntas de intervalos semiabiertos. Sobre este anillo se puede definir una medida contablemente aditiva de forma obvia (aunque habría que demostrar que es contablemente aditiva). En Teorema de extensión de Carathéodory esta medida se extiende a todo el Borel $\sigma$ -y por El lema de Dynkin esta extensión es única. Entonces se pueden tomar productos para obtener una medida de Borel sobre $\mathbb{R}^n$ y completa para obtener la medida de Lebesgue en el $\sigma$ -Álgebra.

(Por supuesto, esto no es esencialmente diferente - la prueba de Caratheodory que he visto utiliza la medida exterior de todos modos).