Sobre los generadores de $\tilde{K}(S^2)$ el grupo reducido de la teoría K

Question

He aprovechado para unirme a la comunidad, porque no he encontrado una explicación satisfactoria al siguiente hecho.

Dejemos que $S^2$ la 2-esfera, dejemos $H$ el haz de líneas tautológico. Supongamos que $$K(S^2) \approx \mathbb{Z}[x]/(x-1)^2$$ (gracias al mapa $x \mapsto H$ )

Entonces por cada fuente que he encontrado en la red, es obvio que $\tilde{K}(X)$ se genera como un grupo abeliano a partir de $H-1$ .

No puedo probar este hecho, según yo, si $K(X)$ tiene como base aditiva {1,H} (porque estoy matando cada factor de grado $\geq 2$ ¿verdad?), entonces gracias a la relación $$\tilde{K}(X) \approx K(X)/\mathbb{Z}$$ Estoy tentado de concluir que estoy matando al $1$ de la base aditiva y por eso sólo tengo $H$ como generador. Pero parece que no es el caso. Gracias por todos los consejos.

(He etiquetado las preguntas como teoría K, si se necesitan más etiquetas no dudes en editarlas)

Answer 1

La ecuación que se escribe $\tilde{K}(X)\cong K(X)/\mathbb{Z}$ es confuso, debería ser

$$K(X)=\mathbb{Z}\oplus\tilde{K}(X)$$ es una cosa pequeña pero creo que es la fuente de su dificultad. $\tilde{K}(X)$ es el núcleo del mapa de grados

$$\deg:K(X)\rightarrow \mathbb{Z}$$ ahora $H$ tiene dimensión $1$ por lo que no está en el núcleo, pero $H-1$ tiene dimensión cero por lo que está en el núcleo por lo que de hecho la descomposición se lee,

$$K(S^2)=\mathbb{Z}\oplus \langle H-1\rangle$$