Tengo un objeto en el espacio 3d creado a partir de puntos $P_i(x, y, z)$ a partir de la cual puedo crear triángulos, y necesito calcular la distancia desde el punto X a este objeto.
Trato de tomar 3 puntos de la menor distancia y calculo la altura del tetraedro creado a partir de estos 3 puntos y X pero esta no será la distancia del objeto.
Así que mi pregunta es cómo calcular esta distancia.
No sé si esta es una solución correcta. Pero voy a hacer un intento.
Dejemos que $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ sean tres puntos más cercanos a $X$ . Considere el plano $\pi$ que contiene $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ .
Dejemos que $P$ sea la proyección ortogonal de $X$ en $\pi$ . Si $P$ está dentro del triángulo $P_1P_2P_3$ entonces la distancia es $PX$ Si no es así $\min(\mathrm{dist}(P_1,X),\mathrm{dist}(P_2,X),\mathrm{dist}(P_3,X))$ . Aquí hay una imagen, para aclarar
Bueno, cómo determinar que $P$ está dentro $P_1P_2P_3$ ? Sólo hay que comprobar la igualdad $$ \mathrm{area}(P_1P_2P_3)= \mathrm{area}(PP_2P_3)+\mathrm{area}(P_1PP_3)+\mathrm{area}(P_1P_2P) $$
Para determinar la proyectación $P$ puede utilizar la siguiente fórmula $$ P=X+tN $$ donde $$ N=[P_3P_1,P_2P_1],\qquad t=\frac{\langle P_1-X,N\rangle}{\langle N,N\rangle} $$
Utilice el Algoritmo GKJ .
Un buen tutorial en línea que incluye imágenes y fragmentos de código está aquí:
http://entropyinteractive.com/2011/04/gjk-algorithm/
Un buen vídeo explicativo del concepto está aquí:
El principio básico es que la relación espacial entre 2 objetos convexos se puede estudiar considerando las propiedades de sus diferencia de minkowski .
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