Demostrar que $a$ y $b$ son números racionales

Question

Si $a+b$ , $a^2+b$ y $b^2+a$ son números racionales y $a+b\neq 1$ entonces $a$ y $b$ son racionales.

Intento, sumar las expresiones pero solo conseguí eso $a^2+b^2$ y $ab$ son racionales.

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Escriba : $a^2 + b - (b^2 + a) =(a-b)(a+b-1)$ Esto es racional. Como $a+b$ es racional, también lo es $a+b-1$ . Es distinto de cero, por lo tanto $a-b$ es racional siendo el cociente de dos racionales, este último distinto de cero.

Por supuesto, si $a+b$ y $a-b$ son racionales, también lo son $a$ y $b$ .

Answer 2

Sugerencia: Como $a^2+b$ y $a+b$ son ambos racionales, $a^2-a$ es racional, lo que significa que $(2a-1)^2$ es racional. Del mismo modo $(2b-1)^2$ es racional. Ahora,

$$(2a-1)+(2b-1)=2(a+b-1)$$

es un racional no nulo. ¿Puedes terminar desde aquí?