Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria con pdf $f(x; \theta) = \theta x^{\theta - 1}$ donde $ 0 < x < 1 $ y $\theta > 0$ . Considere $H_0: \theta = 1/2$ frente a $H_A: \theta = 1/4$
Entonces se me pide que derive la prueba más potente utilizando $\alpha = 0.05$ .
Lo que he hecho es lo siguiente:
$$ \begin{align*} T = \frac{ L(1/2) }{ L(1/4) } & = \frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}{\:\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}} \\ & = 2x^{\frac{1}{4}} \end{align*} $$
Por lo tanto, rechazamos $H_0$ si
$$ 2x^{\frac{1}{4}} < c \Leftrightarrow x < \left( \frac{c}{2} \right)^4 = c_2 $$
Sin embargo, no estoy seguro de si la región crítica es o no
$$ R = \{ X \in (0, 1) \ | \ X > c_2 \} $$
o
$$ R = \{ X \in (0, 1) \ | \ X < c_2 \} $$
¿Cómo puedo determinar si debo o no tener $<$ o $>$ ?. Porque cuando luego tengo que resolver para c calculando
$$ 0.05 = P(X \in (0,1) \in R \ | \ H_0) = P(X > c_2) $$
el resultado difiere si ese $X > c_2$ o $X < c_2$ .
TIA para cualquier ayuda.
