¿Existe una función regulada no negativa $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ tal que $f$ no es idénticamente cero en $[a,b]$ pero $\int ^b _a f = 0$ y que $f$ ¿no es una función de paso?
Una función $f:[a,b] \to \mathbb{R} $ es una función regulada si $\forall \varepsilon > 0 $ existe una función escalonada $ \varphi :[a,b] \to \mathbb{R} $ tal que $sup_{x\in[a,b]} |f(x)-\varphi(x)| <\varepsilon$ .
Una función $g:[a,b] \to \mathbb{R}$ es una función escalonada si existe un conjunto finito de puntos $P=\{p_i\}_{i=0} ^k$ , $P \in [a,b]$ tal que $g$ es constante en cada subintervalo abierto de $(p_{i-1}, p_i)$ .
Creo que la función $f$ no existe porque $\int ^b _a f = 0$ significa la "zona" bajo $f$ es cero, y como $f$ es no negativo, sólo puede haber un número finito de puntos que no sea cero para satisfacer las condiciones dadas. Sin embargo, se trataría de una función escalonada. También sería posible que $f$ tiene un número infinito de puntos que no es cero y sigue satisfaciendo todas las condiciones?
No estoy seguro de cómo escribir una prueba formal, o estaba completamente equivocado y la función existe. Por favor, ayúdenme con este problema.
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Depende de si también considera $$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x=a \\ 0 &\text{otherwise}.\end{cases}$$ una función escalonada. Esta función es regulada y no idéntica a cero, mientras que su integral es cero.
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@JohnMa He añadido la definición de la función de paso, por lo que $f$ se consideraría una función escalonada.