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Encuentra una función regulada no negativa que satisfaga las condiciones dadas.

¿Existe una función regulada no negativa $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ tal que $f$ no es idénticamente cero en $[a,b]$ pero $\int ^b _a f = 0$ y que $f$ ¿no es una función de paso?

Una función $f:[a,b] \to \mathbb{R} $ es una función regulada si $\forall \varepsilon > 0 $ existe una función escalonada $ \varphi :[a,b] \to \mathbb{R} $ tal que $sup_{x\in[a,b]} |f(x)-\varphi(x)| <\varepsilon$ .

Una función $g:[a,b] \to \mathbb{R}$ es una función escalonada si existe un conjunto finito de puntos $P=\{p_i\}_{i=0} ^k$ , $P \in [a,b]$ tal que $g$ es constante en cada subintervalo abierto de $(p_{i-1}, p_i)$ .

Creo que la función $f$ no existe porque $\int ^b _a f = 0$ significa la "zona" bajo $f$ es cero, y como $f$ es no negativo, sólo puede haber un número finito de puntos que no sea cero para satisfacer las condiciones dadas. Sin embargo, se trataría de una función escalonada. También sería posible que $f$ tiene un número infinito de puntos que no es cero y sigue satisfaciendo todas las condiciones?

No estoy seguro de cómo escribir una prueba formal, o estaba completamente equivocado y la función existe. Por favor, ayúdenme con este problema.

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Depende de si también considera $$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x=a \\ 0 &\text{otherwise}.\end{cases}$$ una función escalonada. Esta función es regulada y no idéntica a cero, mientras que su integral es cero.

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@JohnMa He añadido la definición de la función de paso, por lo que $f$ se consideraría una función escalonada.

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user99914 Puntos 1

Un ejemplo sería $f:[0,1] \to \mathbb R$ ,

$$f(x) = \begin{cases}\frac 1n &\text{if }x= \frac 1n, n\in \mathbb N,\\ 0 & \text{otherwise}.\end{cases}$$

esta función está regulada, no es una función escalonada y $\int_0^1 f(x)dx =0$ .

Una pista: Para demostrar que $f$ está regulado, elija $\epsilon >0$ . Luego está $N$ para que $\frac 1n < \epsilon$ para todos $n\ge N$ . Entonces se puede establecer una función de paso que es $0$ en $[0,\frac 1N]$ para aproximar $f$ .

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¿Cuál es la función reguladora de paso? ¿Está regulada sólo porque la definición del OP probablemente omitió en la definición de una función escalonada la condición de que los Pi deben ser diferentes entre sí? o porque los subintervalos son "abiertos"? Gracias de antemano por aclarar este punto, porque me parece que la definición dada de step function es de alguna manera engañosa.

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¿Podría darme una pista sobre cómo probar que $f$ ¿está regulado?

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@Lucy : Por favor, vea la edición.

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