En la física del plasma, en particular, en los espejos magnéticos, tenemos un resultado muy conocido, que es la invariancia del momento magnético de las partículas atrapadas en el espejo.
He visto en algunas notas que, profundizando en la "invariancia", en realidad tenemos tres invariantes adiabáticos de las partículas cargadas, siendo el primero exactamente el momento magnético.
No he podido probar este hecho. Si alguien pudiera darme alguna pista, se lo agradecería.
Lo siguiente proviene de Jackson [1999], páginas 592-593.
Supongamos que empezamos con el acción integral dado por: $$ J_{i} = \oint \ dq_{i} \ p_{i} \tag{0} $$ donde $p_{i}$ y $q_{i}$ son las usuales generalizadas coordenadas canónicas y la integración es sobre un ciclo completo de $q_{i}$ . Entonces, desde Jackson [1999]:
...Para un sistema mecánico dado con condiciones iniciales especificadas, las integrales de acción $J_{i}$ son constantes. Si ahora las propiedades del sistema se modifican de alguna manera (por ejemplo, un cambio en la constante del muelle o en la masa de alguna partícula), se plantea la cuestión de cómo cambian las integrales de acción. Se puede demostrar que, si el cambio de la propiedad es lento en comparación con los periodos relevantes del movimiento y no está relacionado con los periodos (tal cambio se llama cambio adiabático ), las integrales de acción son invariantes.
Primero tenemos que definir algunas cosas. Estas son las gyroradius , $\rho_{cs}$ y frecuencia del ciclotrón , $\Omega_{cs}$ de las especies $s$ dado por: $$ \begin{align} \rho_{cs} & = \frac{ \gamma \ m_{s} \ v_{\perp} }{ e \ B } \tag{1a} \\ \Omega_{cs} & = \frac{ e \ B }{ \gamma \ m_{s} } \tag{1b} \end{align} $$ donde $e$ es la carga fundamental [C], $\gamma$ es el Factor de Lorentz [N/A], $B$ es la magnitud del campo magnético [T], $m_{s}$ es la masa de las especies $s$ [kg], y $v_{\perp}$ es la velocidad ortogonal al vector del campo magnético [km/s]. Obsérvese que en Unidades gaussianas hay un factor de $c$ ( velocidad de la luz ) en el numerador de $\rho_{cs}$ y el denominador de $\Omega_{cs}$ .
Ahora, para una partícula cargada en un campo magnético, sabemos que el momento canónico (unidades gaussianas) viene dado por $\mathbf{P} = \mathbf{p} + \tfrac{ e }{ c } \mathbf{A}$ , donde $\mathbf{p}$ es el momento de 3 vectores y $\mathbf{A}$ es el potencial vectorial. Entonces podemos escribir la integral de acción como $$ \begin{align} J & = \oint \ d\mathbf{l} \cdot \mathbf{P} \tag{2a} \\ & = \oint \ d\mathbf{l} \cdot \left( \gamma \ m_{s} \ v_{\perp} \right) + \frac{ e }{ c } \oint \ d\mathbf{l} \cdot \mathbf{A} \tag{2b} \\ & = \oint \ d\phi \ \gamma \ m_{s} \ \Omega_{cs} \ \rho_{cs}^{2} + \frac{ e }{ c } \int_{S} \ dA \ \hat{n} \cdot \nabla \times \mathbf{A} \tag{2c} \\ & = 2 \pi \ \gamma \ m_{s} \ \Omega_{cs} \ \rho_{cs}^{2} + \frac{ e }{ c } \int_{S} \ dA \ \hat{n} \cdot \mathbf{B} \tag{2d} \end{align} $$ donde hemos utilizado Teorema de Stokes para la segunda integral y aprovechó el hecho de que $d\mathbf{l}$ y $v_{\perp}$ son paralelos y que $d\mathbf{l} = \rho_{cs} d\hat{\phi}$ en la primera integral. El elemento de línea $d\mathbf{l}$ órbitas $\mathbf{B}$ en sentido contrario a las agujas del reloj, por lo tanto la normal unitaria hacia afuera, $\hat{n}$ es antiparalela a $\mathbf{B}$ . La segunda integral es entonces una integral sobre el área de un giroscopio, lo que la reduce a $\pi \rho_{cs}^{2}$ . Tras una pequeña manipulación se ve que la segunda integral es la mitad de la primera integral y negativa resultando que la acción va a: $$ J = \pi \ \gamma \ m_{s} \ \Omega_{cs} \ \rho_{cs}^{2} = \frac{ e }{ c } \left( \pi \rho_{cs}^{2} B \right) \tag{3} $$
La cantidad en ()'s en la Ecuación 3 es el flujo magnético a través de la órbita giroscópica de las partículas. Así que ahora nos preguntamos cómo se relaciona esto con invariancia adiabática . Si observamos la ecuación 3 podemos ver que para campos magnéticos que varían lentamente, $J$ debe ser constante. La razón por la que podemos decir esto es la siguiente:
Si B aumenta, entonces $\rho_{cs}$ disminuye de forma que $\left( \pi \rho_{cs}^{2} B \right)$ se mantiene constante.
Esta afirmación puede reducirse a tres invariantes de movimiento llamadas adiabáticas para partículas cargadas en campos que varían lentamente, dadas por: $$ \begin{align} \left( \pi \rho_{cs}^{2} B \right) & \equiv \text{magnetic flux conservation} \tag{4a} \\ \frac{ p_{\perp}^{2} }{ B } & \equiv \text{transverse momentum} \tag{4b} \\ \gamma \mu & \equiv \text{magnetic moment} \tag{4c} \\ \int_{a}^{b} \ ds \ p_{\parallel} & \equiv \text{parallel momentum} \tag{4d} \end{align} $$ donde $\mu = \tfrac{ e \ \Omega_{cs} \ \rho_{cs}^{2} }{ 2 \ c }$ es el momento magnético de la partícula.
Estos están relacionados con los movimientos de las partículas, por ejemplo, en la Tierra magnetosfera .
Así que tenemos tres movimientos periódicos (del más rápido al más lento): giro, rebote y deriva.
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