GARCH-residuos estandarizados, distribuciones y AIC

Question

Así que me he estado preguntando sobre una interesante observación. Mis datos contienen 1006 retornos logarítmicos del índice SP500 y he estimado un proceso GARCH(1,1) con probabilidad cuasi máxima gaussiana, aunque los retornos logarítmicos se ajustan mejor a una distribución t de Student.

Estaba interesado en algunos argumentos de bondad de ajuste y me preguntaba sobre los diferentes períodos de mis datos y cómo el proceso GARCH(1,1) se ajusta a los diferentes períodos. Descubrí que el mejor valor AIC lo produjeron los índices 195-695 (500 observaciones ajustadas) $$\text{AIC}_{\text{best}}=-7.556248$$ y lo peor producido por los indicies (498-998) $$\text{AIC}_{\text{worst}}=-6.763304.$$ Pero cuando miro las densidades de los residuos estandarizados de esos dos periodos y los gráficos QQ contra una distribución normal estándar mi resultado es bastante inquietante y no puedo encontrar la intuición detrás de ello.

Este es el gráfico de los retornos de los registros que estoy viendo:

Y estos son los QQ-plots:

Estaba pensando que podría tener algo que ver con la estacionalidad. Está claro que en el periodo de indicies 195-695 tengo "más" estacionariedad en el periodo de indices 468-998. Pero como uso la cuasi-máxima verosimilitud gaussiana (asumiendo que el proceso de ruido es gaussiano estándar), ¿cómo se explica el "mal" ajuste en los "buenos" residuos estandarizados? Gracias de antemano.

Gráfico AIC

Answer 1

El AIC es una medida de probabilidad (más precisamente, la probabilidad esperada de un modelo para una nueva observación de la misma población).

Para un conjunto de datos fijo Cuanto más se ajuste la distribución supuesta a la distribución real, mayor será la probabilidad. Por lo tanto, si sólo se observa una ventana única de su conjunto de datos y tuviera dos modelos basados en diferentes supuestos de distribución, esperaría que el modelo con mayor probabilidad también tuviera la distribución supuesta de los residuos que coincidiera mejor con la distribución empírica.

Para diferentes conjuntos de datos Sin embargo, las probabilidades serán incomparables. Por lo tanto, no hay que esperar ver una relación positiva entre (1) el tamaño de la probabilidad y (2) lo bien que se ajustan los supuestos de distribución cuando se observa diferentes ventanas de su conjunto de datos.

A continuación se muestra un ejemplo empírico en R que ilustra este punto.

par(mfrow=c(1,2)) # plot two graphs in one

# True error distribution uniform, assumed distribution normal, high value of log-likelihood
n=1e2                       # set sample size
set.seed(1); x=runif(n)     # fix seed and generate regressor x
set.seed(0); u=runif(n)/10  # fix seed and generate true error term u
y=0+1*x+u                   # generate y from x and u
m=lm(y~x)                   # estimate a linear regresion y~x
e=m$resid                   # obain residuals
hat_sigma_e=sqrt(mean(e^2)) # MLE of sigma_e
loglik=sum(log(dnorm(e,mean=0,sd=hat_sigma_e))) # log-likelihood
# Alternatively, run logLik(m)
loglik                      # print log-likelihood
plot(y~x,main=paste("Wrong distributional assumption \n Log-likelihood =",round(loglik,2)))
points(m$fitted~x,col="red")
lines(m$fitted~x)

# True error distribution normal, assumed distribution normal, low value of log-likelihood
n=1e2 # set sample size
set.seed(1); x=runif(n)     # fix seed and generate regressor x
set.seed(0); u=rnorm(n)*10  # fix seed and generate true error term u
y=0+1*x+u                   # generate y from x and u
m=lm(y~x)                   # estimate a linear regresion y~x
e=m$resid                   # obain residuals
hat_sigma_e=sqrt(mean(e^2)) # MLE of sigma_e
loglik=sum(log(dnorm(e,mean=0,sd=hat_sigma_e))) # log-likelihood
# Alternatively, run logLik(m)
loglik                      # print log-likelihood
plot(y~x,main=paste("Correct distributional assumption \n Log-likelihood =",round(loglik,2)))
points(m$fitted~x,col="red")
lines(m$fitted~x)